ત્રણ પાત્રોમાં અનુક્રમે $2$ સફેદ અને $3$ કાળા,$3$ સફેદ અને $2$ કાળા,અને $1$ સફેદ અને $4$ કાળા દડા છે. જો દરેક પાત્રમાંથી એક દડો કાઢવામાં આવે,તો પસંદગીમાં $1$ કાળો અને $2$ સફેદ દડા હોવાની સંભાવના કેટલી છે?

સમીકરણોની સિસ્ટમ $ax + by = 0$ અને $cx + dy = 0$ ધ્યાનમાં લો,જ્યાં $a, b, c, d \in \{0, 1\}$ છે.
વિધાન $-1$: સમીકરણોની સિસ્ટમનો ઉકેલ હોય તેની સંભાવના $1$ છે.
વિધાન $-2$: સમીકરણોની સિસ્ટમને અનન્ય ઉકેલ હોય તેની સંભાવના $\frac{3}{8}$ છે.

ધારો કે $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે જેથી $P(A)=p$ અને $P(B)=2p$. $p$ ની મહત્તમ કિંમત, જેના માટે $P(\text{A, B માંથી બરાબર એક ઘટના બને}) = \frac{5}{9}$ છે, તે શોધો:

ધારો કે $\alpha$ એ $x^2+x+1=0$ નું એક બીજ છે અને ધારો કે એક સમતોલ પાસાને $3$ વખત ફેંકવામાં આવે છે. જો $a, b,$ અને $c$ એ પાસા પર મળતી સંખ્યાઓ હોય,તો $\alpha^a+\alpha^b+\alpha^c=0$ થવાની સંભાવના કેટલી છે?

બે ખેલાડીઓ $A$ અને $B$ વારાફરતી સિક્કો અને પાસો ઉછાળે છે. જે ખેલાડી પહેલા છાપ અને $6$ મેળવે તે રમત જીતે છે. જો $A$ રમતની શરૂઆત કરે, તો $B$ રમત જીતે તેની સંભાવના કેટલી?

ધારો કે એક પક્ષપાતી સિક્કા પર છાપ (head) મળવાની સંભાવના $\frac{1}{4}$ છે. તેને વારંવાર ઉછાળવામાં આવે છે જ્યાં સુધી છાપ ન મળે. ધારો કે $N$ એ જરૂરી ઉછાળની સંખ્યા છે. જો સમીકરણ $64x^2 + 5Nx + 1 = 0$ ને કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ ન હોય તેની સંભાવના $\frac{p}{q}$ હોય,જ્યાં $p$ અને $q$ પરસ્પર અવિભાજ્ય છે,તો $q - p$ ની કિંમત શોધો.