दो वक्र C_1 : y = x^2 - 3 और C_2 : y = kx^2, | vedclass

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Question

(B) दिए गए वक्र $C_1: y = x^2 - 3$ और $C_2: y = kx^2$ हैं।चूंकि बिंदु $A(a, y_1)$ दोनों वक्रों पर स्थित है,इसलिए $y_1 = a^2 - 3$ और $y_1 = ka^2$ है।इन

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$3$

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(B) दिए गए वक्र $C_1: y = x^2 - 3$ और $C_2: y = kx^2$ हैं।चूंकि बिंदु $A(a, y_1)$ दोनों वक्रों पर स्थित है,इसलिए $y_1 = a^2 - 3$ और $y_1 = ka^2$ है।इनकी तुलना करने पर,$ka^2 = a^2 - 3$,अतः $k = \frac{a^2 - 3}{a^2} = 1 - \frac{3}{a^2}$।बिंदु $B(1, y_2)$ वक्र $C_1$ पर स्थित है,इसलिए $y_2 = 1^2 - 3 = -2$।अतः,$B$ बिंदु $(1, -2)$ है।$A(a, y_1)$ पर $C_2$ की स्पर्श रेखा का ढाल $\frac{dy}{dx} = 2kx$ है। $x = a$ पर ढाल $m = 2ka$ है।$A(a, y_1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - y_1 = 2ka(x - a)$ है।चूंकि यह स्पर्श रेखा $B(1, -2)$ से गुजरती है,इसलिए $-2 - y_1 = 2ka(1 - a)$ है।$y_1 = a^2 - 3$ और $k = \frac{a^2 - 3}{a^2}$ प्रतिस्थापित करने पर:$-2 - (a^2 - 3) = 2 \left( \frac{a^2 - 3}{a^2} ight) a (1 - a)$$1 - a^2 = 2 \left( \frac{a^2 - 3}{a} ight) (1 - a)$$(1 - a)(1 + a) = \frac{2(a^2 - 3)(1 - a)}{a}$।चूंकि $a > 0$ और $A$ एक प्रतिच्छेदन बिंदु है,इसलिए $a 
eq 1$। $(1 - a)$ से भाग देने पर:$1 + a = \frac{2(a^2 - 3)}{a}$$a + a^2 = 2a^2 - 6$$a^2 - a - 6 = 0$$(a - 3)(a + 2) = 0$।चूंकि $a > 0$,इसलिए $a = 3$ प्राप्त होता है।

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