प्रथम 30 प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय से दो | vedclass

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Question

(D) समुच्चय ${1, 2, 3, \dots, 30}$ से दो भिन्न संख्याएँ $a$ और $b$ चुनने के कुल तरीके ${}^{30}C_2 = \frac{30 	imes 29}{2} = 435$ हैं।हम जानते हैं कि

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$\frac{47}{87}$

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(D) समुच्चय ${1, 2, 3, \dots, 30}$ से दो भिन्न संख्याएँ $a$ और $b$ चुनने के कुल तरीके ${}^{30}C_2 = \frac{30 	imes 29}{2} = 435$ हैं।हम जानते हैं कि $a^2 - b^2$ तब $3$ से विभाज्य होता है यदि $a^2 \equiv b^2 \pmod{3}$ हो।किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए, $n^2 \pmod{3}$ का मान $0$ (यदि $n$, $3$ का गुणज है) या $1$ (यदि $n$, $3$ का गुणज नहीं है) हो सकता है।मान लीजिए $S_0$, $3$ से विभाज्य संख्याओं का समुच्चय है $(|S_0| = 10)$ और $S_1$, $3$ से विभाज्य न होने वाली संख्याओं का समुच्चय है $(|S_1| = 20)$।$a^2 - b^2$, $3$ से विभाज्य होने के दो मामले हैं:स्थिति $1$: $a$ और $b$ दोनों $S_0$ में हों। तरीकों की संख्या ${}^{10}C_2 = \frac{10 	imes 9}{2} = 45$ है।स्थिति $2$: $a$ और $b$ दोनों $S_1$ में हों। तरीकों की संख्या ${}^{20}C_2 = \frac{20 	imes 19}{2} = 190$ है।कुल अनुकूल मामले $= 45 + 190 = 235$ हैं।अतः, अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{235}{435} = \frac{47}{87}$ है।

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