दो खिलाड़ी $A$ और $B$ बारी-बारी से $3$ सिक्के एक साथ उछालते हैं। जो खिलाड़ी पहले $2$ चित (heads) और $1$ पट (tail) प्राप्त करता है, वह खेल जीत जाता है। यदि खेल तब तक जारी रहता है जब तक कोई जीत न जाए और यदि $A$ खेल शुरू करता है, तो $B$ के खेल जीतने की प्रायिकता क्या है?

$A$ $75 \%$ मामलों में सच बोलता है और $B$ $80 \%$ मामलों में सच बोलता है। तो,किसी घटना के बारे में उनके बयानों के मेल न खाने की प्रायिकता है

एक बॉक्स $B_1$ में $1$ सफेद गेंद,$3$ लाल गेंदें और $2$ काली गेंदें हैं। दूसरे बॉक्स $B_2$ में $2$ सफेद गेंदें,$3$ लाल गेंदें और $4$ काली गेंदें हैं। तीसरे बॉक्स $B_3$ में $3$ सफेद गेंदें,$4$ लाल गेंदें और $5$ काली गेंदें हैं।
$1.$ यदि प्रत्येक बॉक्स $B_1, B_2$ और $B_3$ में से $1$ गेंद निकाली जाती है,तो तीनों गेंदों के एक ही रंग के होने की प्रायिकता क्या है?
$(A)$ $\frac{82}{648}$ $(B)$ $\frac{90}{648}$ $(C)$ $\frac{558}{648}$ $(D)$ $\frac{566}{648}$
$2.$ यदि यादृच्छिक रूप से चुने गए बॉक्स से $2$ गेंदें (बिना प्रतिस्थापन के) निकाली जाती हैं और उनमें से एक गेंद सफेद और दूसरी लाल है,तो इन $2$ गेंदों के बॉक्स $B_2$ से निकाले जाने की प्रायिकता क्या है?
$(A)$ $\frac{116}{181}$ $(B)$ $\frac{126}{181}$ $(C)$ $\frac{65}{181}$ $(D)$ $\frac{55}{181}$
प्रश्न $1$ और $2$ के लिए सही विकल्प चुनें।

मान लीजिए कि $A$ और $B$ दो स्वतंत्र घटनाएँ हैं जैसे कि $P(B) > P(A)$। यदि $A$ और $B$ दोनों के होने की प्रायिकता $\frac{1}{12}$ है और न तो $A$ और न ही $B$ के होने की प्रायिकता $\frac{1}{2}$ है,तो:

$A$ और $B$ दो स्वतंत्र घटनाएँ इस प्रकार हैं कि $P(A \cup B) = 0.8$ और $P(A) = 0.3$ है। $P(B)$ का मान है:

यदि $A$ और $B$ एक यादृच्छिक प्रयोग की स्वतंत्र घटनाएँ हैं,जैसे कि $P(A \cap B) = \frac{1}{6}$ और $P(\bar{A} \cap \bar{B}) = \frac{1}{3}$,तो $P(A)$ का मान ज्ञात कीजिए। (यहाँ,$\bar{E}$ घटना $E$ की पूरक घटना है)