समीकरण ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0 के दो | vedclass

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Question

(B) माना मूल $\alpha, \alpha, \beta, \gamma$ हैं। दिया है $\alpha > 0$ और $\beta\gamma = 1$। विएटा के सूत्रों से,मूलों का गुणनफल $\alpha^2\beta\gamma

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$3e + \frac{2b\sqrt{e}}{\sqrt{a}} + c = a$

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(B) माना मूल $\alpha, \alpha, \beta, \gamma$ हैं। दिया है $\alpha > 0$ और $\beta\gamma = 1$। विएटा के सूत्रों से,मूलों का गुणनफल $\alpha^2\beta\gamma = \frac{e}{a}$ है। चूंकि $\beta\gamma = 1$,इसलिए $\alpha^2 = \frac{e}{a}$,अतः $\alpha = \sqrt{\frac{e}{a}}$। समीकरण को $a(x-\alpha)^2(x^2 - Sx + 1) = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $S = \beta + \gamma$। गुणांकों की तुलना करने पर,$b = -a(S + 2\alpha)$,$c = a(1 + 2\alpha S + \alpha^2)$,$d = -a(S\alpha^2 + 2\alpha)$,$e = a\alpha^2$ प्राप्त होता है। $b = -a(S + 2\alpha)$ से,$S = -\frac{b}{a} - 2\alpha$। $c$ के समीकरण में $S$ का मान रखने पर,$c = a - 2b\alpha - 3a\alpha^2$ प्राप्त होता है। चूंकि $\alpha^2 = \frac{e}{a}$,इसलिए $3a\alpha^2 = 3e$। अतः,$c = a - 2b\sqrt{\frac{e}{a}} - 3e$,जिसे सरल करने पर $3e + \frac{2b\sqrt{e}}{\sqrt{a}} + c = a$ प्राप्त होता है।

समीकरण $ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0$ के दो मूल धनात्मक और समान हैं। यदि अन्य दो वास्तविक मूलों का गुणनफल $1$ है,तो:

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मान लीजिए कि $\tan A$ और $\tan B$, जहाँ $A, B \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, द्विघात समीकरण $x^2 - 2x - 5 = 0$ के मूल हैं। तो $20 \sin^2(\frac{A+B}{2})$ का मान ज्ञात कीजिए:

परिमेय गुणांकों वाला न्यूनतम घात का समीकरण जिसके मूल $\sqrt{3}+\sqrt{2} i$ और $\sqrt{3}-\sqrt{2}$ हैं,वह है

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