दो अनुक्रम $\{t_n\}$ और $\{s_n\}$ को $t_n = \log \left( \frac{5^{n+1}}{3^{n-1}} \right)$ और $s_n = \left[ \log \left( \frac{5}{3} \right) \right]^n$ द्वारा परिभाषित किया गया है,तो:

एक अनुक्रम $\langle a_n \rangle$ को $a_1 = 5, a_n = a_1 a_2 \dots a_{n-1} + 4$ ($n > 1$ के लिए) द्वारा परिभाषित करें। तब,$\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{a_n}}{a_{n-1}}$ का मान ज्ञात करें।

मान लीजिए $\alpha = \sum_{n=101}^{200} 2^n \sum_{k=101}^n \frac{1}{k !}$ और $b = \sum_{n=101}^{200} \frac{2^{201}-2^n}{n !}$ है। तब,$\frac{a}{b}$ का मान ज्ञात कीजिए।

अनुक्रम $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots$ पर विचार करें जहाँ $a_{1}=1, a_{2}=2$ और $n=1, 2, 3, \ldots$ के लिए $a_{n+2}=\frac{2}{a_{n+1}}+a_{n}$ है। यदि $\left(\frac{a_{1}+\frac{1}{a_{2}}}{a_{3}}\right) \cdot\left(\frac{a_{2}+\frac{1}{a_{3}}}{a_{4}}\right) \cdot\left(\frac{a_{3}+\frac{1}{a_{4}}}{a_{5}}\right) \cdots\left(\frac{a_{30}+\frac{1}{a_{31}}}{a_{32}}\right)=2^{\alpha}\left({}^{61}C_{31}\right)$ है,तो $\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $|x| < 1, |y| < 1$ और $x \neq y$ है,तो निम्नलिखित श्रेणी $(x+y)+(x^{2}+xy+y^{2})+(x^{3}+x^{2}y+xy^{2}+y^{3})+\ldots$ का अनंत तक योग क्या है?

मान लीजिए कि $\{a_k\}$ और $\{b_k\}, k \in N$,दो $G$.$P$. हैं जिनके सार्व अनुपात क्रमशः $r_1$ और $r_2$ हैं,इस प्रकार कि $a_1=b_1=4$ और $r_1 < r_2$ है। मान लीजिए $c_k=a_k+b_k, k \in N$ है। यदि $c_2=5$ और $c_3=13/4$ है,तो $\sum_{k=1}^{\infty} c_k - (12a_6 + 8b_4)$ का मान ज्ञात कीजिए।