દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને $(101)^{4}$ ની કિંમત શોધો.

$(\sqrt{2} + 1)^6 - (\sqrt{2} - 1)^6 = $

દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને $(3 x^{2}-2 a x+3 a^{2})^{3}$ નું વિસ્તરણ શોધો.

ધારો કે $S=\{a+b \sqrt{2}: a, b \in Z \}$,$T_1=\{(-1+\sqrt{2})^n: n \in N \}$ અને $T_2=\{(1+\sqrt{2})^n: n \in N \}$. તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન (વિધાનો) $TRUE$ છે?
$(A)$ $Z \cup T_1 \cup T_2 \subset S$
$(B)$ $T_1 \cap (0, \frac{1}{2024}) = \phi$,જ્યાં $\phi$ ખાલી ગણ દર્શાવે છે
$(C)$ $T_2 \cap (2024, \infty) \neq \phi$
$(D)$ કોઈપણ આપેલ $a, b \in Z$ માટે,$\cos(\pi(a+b \sqrt{2})) + i \sin(\pi(a+b \sqrt{2})) \in Z$ જો અને તો જ જો $b=0$ હોય,જ્યાં $i=\sqrt{-1}$

જો $a$ અને $b$ ભિન્ન પૂર્ણાંકો હોય,તો સાબિત કરો કે $a-b$ એ $a^{n}-b^{n}$ નો અવયવ છે,જ્યાં $n$ એ ધન પૂર્ણાંક છે.

ધારો કે $n > 2$ એક પૂર્ણાંક છે અને બહુપદી $p(x) = x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0$ વ્યાખ્યાયિત કરો,જ્યાં $a_0, a_1, \ldots, a_{n-1}$ પૂર્ણાંકો છે. ધારો કે આપણે જાણીએ છીએ કે $n p(x) = (1 + x) p'(x)$. જો $b = p(1)$ હોય,તો: