प्रारंभिक रूपांतरणों का उपयोग करके,निम्नलिखित आव्यूह का व्युत्क्रम ज्ञात कीजिए,यदि यह अस्तित्व में है: $A = \left[\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 1 \end{array}\right]$
(N/A) प्रारंभिक पंक्ति संक्रियाओं का उपयोग करके व्युत्क्रम ज्ञात करने के लिए,हम $A = IA$ लिखते हैं,जहाँ $I$ तत्समक आव्यूह है: $\left[\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] A$.
$R_1 \leftrightarrow R_2$ लागू करने पर: $\left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 3 & 1 & 1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] A$.
$R_3 \to R_3 - 3R_1$ लागू करने पर: $\left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & -5 & -8 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 1 \end{array}\right] A$.
$R_3 \to R_3 + 5R_2$ लागू करने पर: $\left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 5 & -3 & 1 \end{array}\right] A$.
$R_3 \to \frac{1}{2}R_3$ लागू करने पर: $\left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ \frac{5}{2} & -\frac{3}{2} & \frac{1}{2} \end{array}\right] A$.
$R_2 \to R_2 - 2R_3$ और $R_1 \to R_1 - 3R_3$ लागू करने पर: $\left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} -\frac{15}{2} & \frac{11}{2} & -\frac{3}{2} \\ -4 & 3 & -1 \\ \frac{5}{2} & -\frac{3}{2} & \frac{1}{2} \end{array}\right] A$.
$R_1 \to R_1 - 2R_2$ लागू करने पर: $\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ -4 & 3 & -1 \\ \frac{5}{2} & -\frac{3}{2} & \frac{1}{2} \end{array}\right] A$.
अतः,$A^{-1} = \left[\begin{array}{ccc} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ -4 & 3 & -1 \\ \frac{5}{2} & -\frac{3}{2} & \frac{1}{2} \end{array}\right]$.
$R_1 \leftrightarrow R_2$ लागू करने पर: $\left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 3 & 1 & 1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] A$.
$R_3 \to R_3 - 3R_1$ लागू करने पर: $\left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & -5 & -8 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 1 \end{array}\right] A$.
$R_3 \to R_3 + 5R_2$ लागू करने पर: $\left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 5 & -3 & 1 \end{array}\right] A$.
$R_3 \to \frac{1}{2}R_3$ लागू करने पर: $\left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ \frac{5}{2} & -\frac{3}{2} & \frac{1}{2} \end{array}\right] A$.
$R_2 \to R_2 - 2R_3$ और $R_1 \to R_1 - 3R_3$ लागू करने पर: $\left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} -\frac{15}{2} & \frac{11}{2} & -\frac{3}{2} \\ -4 & 3 & -1 \\ \frac{5}{2} & -\frac{3}{2} & \frac{1}{2} \end{array}\right] A$.
$R_1 \to R_1 - 2R_2$ लागू करने पर: $\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ -4 & 3 & -1 \\ \frac{5}{2} & -\frac{3}{2} & \frac{1}{2} \end{array}\right] A$.
अतः,$A^{-1} = \left[\begin{array}{ccc} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ -4 & 3 & -1 \\ \frac{5}{2} & -\frac{3}{2} & \frac{1}{2} \end{array}\right]$.
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