નિશ્ચાયકના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને અને વિસ્તરણ કર્યા વગર સાબિત કરો કે:
$\left|\begin{array}{lll}a-b & b-c & c-a \\ b-c & c-a & a-b \\ c-a & a-b & b-c\end{array}\right|=0$

(N/A) ધારો કે $\Delta = \left|\begin{array}{lll}a-b & b-c & c-a \\ b-c & c-a & a-b \\ c-a & a-b & b-c\end{array}\right|$.
પ્રક્રિયા $R_{1} \rightarrow R_{1} + R_{2} + R_{3}$ લાગુ પાડતા:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}(a-b) + (b-c) + (c-a) & (b-c) + (c-a) + (a-b) & (c-a) + (a-b) + (b-c) \\ b-c & c-a & a-b \\ c-a & a-b & b-c\end{array}\right|$
પ્રથમ હારના ઘટકોનું સાદુંરૂપ આપતા:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}0 & 0 & 0 \\ b-c & c-a & a-b \\ c-a & a-b & b-c\end{array}\right|$
અહીં પ્રથમ હાર $R_{1}$ ના તમામ ઘટકો $0$ હોવાથી,નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય છે.
$\therefore \Delta = 0$.