सारणिकों के गुणों का उपयोग करके और विस्तार किए बिना सिद्ध कीजिए कि:
$\left|\begin{array}{lll}2 & 7 & 65 \\ 3 & 8 & 75 \\ 5 & 9 & 86\end{array}\right|=0$
$\left|\begin{array}{lll}2 & 7 & 65 \\ 3 & 8 & 75 \\ 5 & 9 & 86\end{array}\right|=0$
(A) माना $\Delta = \left|\begin{array}{lll}2 & 7 & 65 \\ 3 & 8 & 75 \\ 5 & 9 & 86\end{array}\right|$.
हम तीसरे स्तंभ को $C_3 = 9C_2 + C_1$ के रूप में लिख सकते हैं:
$\Delta = \left|\begin{array}{lll}2 & 7 & 9(7)+2 \\ 3 & 8 & 9(8)+3 \\ 5 & 9 & 9(9)+5\end{array}\right|$
सारणिकों के गुण का उपयोग करके,हम इसे दो सारणिकों में विभाजित कर सकते हैं:
$\Delta = \left|\begin{array}{lll}2 & 7 & 9(7) \\ 3 & 8 & 9(8) \\ 5 & 9 & 9(9)\end{array}\right| + \left|\begin{array}{lll}2 & 7 & 2 \\ 3 & 8 & 3 \\ 5 & 9 & 5\end{array}\right|$
पहले सारणिक में,हम तीसरे स्तंभ से $9$ को उभयनिष्ठ गुणनखंड के रूप में ले सकते हैं:
$\Delta = 9 \left|\begin{array}{lll}2 & 7 & 7 \\ 3 & 8 & 8 \\ 5 & 9 & 9\end{array}\right| + \left|\begin{array}{lll}2 & 7 & 2 \\ 3 & 8 & 3 \\ 5 & 9 & 5\end{array}\right|$
पहले सारणिक में,दूसरा और तीसरा स्तंभ समान हैं,इसलिए इसका मान $0$ है।
दूसरे सारणिक में,पहला और तीसरा स्तंभ समान हैं,इसलिए इसका मान $0$ है।
अतः,$\Delta = 9(0) + 0 = 0$.
हम तीसरे स्तंभ को $C_3 = 9C_2 + C_1$ के रूप में लिख सकते हैं:
$\Delta = \left|\begin{array}{lll}2 & 7 & 9(7)+2 \\ 3 & 8 & 9(8)+3 \\ 5 & 9 & 9(9)+5\end{array}\right|$
सारणिकों के गुण का उपयोग करके,हम इसे दो सारणिकों में विभाजित कर सकते हैं:
$\Delta = \left|\begin{array}{lll}2 & 7 & 9(7) \\ 3 & 8 & 9(8) \\ 5 & 9 & 9(9)\end{array}\right| + \left|\begin{array}{lll}2 & 7 & 2 \\ 3 & 8 & 3 \\ 5 & 9 & 5\end{array}\right|$
पहले सारणिक में,हम तीसरे स्तंभ से $9$ को उभयनिष्ठ गुणनखंड के रूप में ले सकते हैं:
$\Delta = 9 \left|\begin{array}{lll}2 & 7 & 7 \\ 3 & 8 & 8 \\ 5 & 9 & 9\end{array}\right| + \left|\begin{array}{lll}2 & 7 & 2 \\ 3 & 8 & 3 \\ 5 & 9 & 5\end{array}\right|$
पहले सारणिक में,दूसरा और तीसरा स्तंभ समान हैं,इसलिए इसका मान $0$ है।
दूसरे सारणिक में,पहला और तीसरा स्तंभ समान हैं,इसलिए इसका मान $0$ है।
अतः,$\Delta = 9(0) + 0 = 0$.
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