सारणिकों के गुणधर्मों का उपयोग करके और बिना विस्तार किए सिद्ध कीजिए कि:
$\left|\begin{array}{lll}1 & bc & a(b+c) \\ 1 & ca & b(c+a) \\ 1 & ab & c(a+b)\end{array}\right|=0$
$\left|\begin{array}{lll}1 & bc & a(b+c) \\ 1 & ca & b(c+a) \\ 1 & ab & c(a+b)\end{array}\right|=0$
(A) माना $\Delta = \left|\begin{array}{lll}1 & bc & a(b+c) \\ 1 & ca & b(c+a) \\ 1 & ab & c(a+b)\end{array}\right|$
स्तंभ संक्रिया $C_{3} \rightarrow C_{3} + C_{2}$ लागू करने पर:
$\Delta = \left|\begin{array}{lll}1 & bc & ab+bc+ca \\ 1 & ca & ab+bc+ca \\ 1 & ab & ab+bc+ca\end{array}\right|$
$C_{3}$ से $(ab+bc+ca)$ उभयनिष्ठ (common) लेने पर:
$\Delta = (ab+bc+ca) \left|\begin{array}{lll}1 & bc & 1 \\ 1 & ca & 1 \\ 1 & ab & 1\end{array}\right|$
चूंकि स्तंभ $C_{1}$ और $C_{3}$ समान हैं,इसलिए सारणिक का मान $0$ है।
$\therefore \Delta = (ab+bc+ca) \times 0 = 0$.
स्तंभ संक्रिया $C_{3} \rightarrow C_{3} + C_{2}$ लागू करने पर:
$\Delta = \left|\begin{array}{lll}1 & bc & ab+bc+ca \\ 1 & ca & ab+bc+ca \\ 1 & ab & ab+bc+ca\end{array}\right|$
$C_{3}$ से $(ab+bc+ca)$ उभयनिष्ठ (common) लेने पर:
$\Delta = (ab+bc+ca) \left|\begin{array}{lll}1 & bc & 1 \\ 1 & ca & 1 \\ 1 & ab & 1\end{array}\right|$
चूंकि स्तंभ $C_{1}$ और $C_{3}$ समान हैं,इसलिए सारणिक का मान $0$ है।
$\therefore \Delta = (ab+bc+ca) \times 0 = 0$.
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