નિશ્ચાયકના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને અને વિસ્તરણ કર્યા વગર સાબિત કરો કે:
$\left|\begin{array}{lll}1 & bc & a(b+c) \\ 1 & ca & b(c+a) \\ 1 & ab & c(a+b)\end{array}\right|=0$

(A) ધારો કે $\Delta = \left|\begin{array}{lll}1 & bc & a(b+c) \\ 1 & ca & b(c+a) \\ 1 & ab & c(a+b)\end{array}\right|$
સ્તંભ પ્રક્રિયા $C_{3} \rightarrow C_{3} + C_{2}$ લાગુ કરતા:
$\Delta = \left|\begin{array}{lll}1 & bc & ab+bc+ca \\ 1 & ca & ab+bc+ca \\ 1 & ab & ab+bc+ca\end{array}\right|$
$C_{3}$ માંથી $(ab+bc+ca)$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = (ab+bc+ca) \left|\begin{array}{lll}1 & bc & 1 \\ 1 & ca & 1 \\ 1 & ab & 1\end{array}\right|$
અહીં સ્તંભ $C_{1}$ અને $C_{3}$ સમાન હોવાથી,નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય છે.
$\therefore \Delta = (ab+bc+ca) \times 0 = 0$.