निश्चित समाकलन intlimits_{ - frac{1}{2}}^{fra | vedclass

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Question

(B) माना $f(x) = \sin^{-1}(3x - 4x^3) - \cos^{-1}(4x^3 - 3x)$.हम जानते हैं कि $y \in [-1, 1]$ के लिए $\cos^{-1}(y) = \pi - \sin^{-1}(y)$.अतः,$f(x) = \

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$ - \frac{\pi }{2}$

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(B) माना $f(x) = \sin^{-1}(3x - 4x^3) - \cos^{-1}(4x^3 - 3x)$.हम जानते हैं कि $y \in [-1, 1]$ के लिए $\cos^{-1}(y) = \pi - \sin^{-1}(y)$.अतः,$f(x) = \sin^{-1}(3x - 4x^3) - [\pi - \sin^{-1}(4x^3 - 3x)]$.चूंकि $4x^3 - 3x = -(3x - 4x^3)$,इसलिए $\sin^{-1}(4x^3 - 3x) = \sin^{-1}(-(3x - 4x^3)) = -\sin^{-1}(3x - 4x^3)$.इस मान को $f(x)$ में प्रतिस्थापित करने पर:$x \in [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ के लिए $\sin^{-1}(3x - 4x^3) = 3\sin^{-1}x$ और $\cos^{-1}(4x^3 - 3x) = \frac{\pi}{2} + \sin^{-1}(3x - 4x^3)$ होता है।अतः $f(x) = \sin^{-1}(3x - 4x^3) - (\frac{\pi}{2} + \sin^{-1}(3x - 4x^3)) = -\frac{\pi}{2}$.इसलिए,$I = \int_{-1/2}^{1/2} -\frac{\pi}{2} dx = -\frac{\pi}{2} [x]_{-1/2}^{1/2} = -\frac{\pi}{2} (\frac{1}{2} - (-\frac{1}{2})) = -\frac{\pi}{2}$.

निश्चित समाकलन $\int\limits_{ - \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} {\,(\,\,{{\sin }^{ - 1}}(3x - 4{x^3})\,\, - \,\,{{\cos }^{ - 1}}(4{x^3} - 3x)\,\,)\,dx} \,\,$ का मान ज्ञात कीजिए।

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$(A)$ $I_n = I_{n+2}$
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$\int_{-\pi}^\pi \frac{x \sin x}{1+\cos ^2 x} d x=$

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