सत्यापित कीजिए कि दिया गया फलन $x+y=\tan ^{-1} y$ अवकल समीकरण $y^{2} y^{\prime}+y^{2}+1=0$ का हल है।
दिया गया फलन: $x+y=\tan ^{-1} y$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(x+y) = \frac{d}{dx}(\tan^{-1} y)$
$1 + y^{\prime} = \frac{1}{1+y^2} y^{\prime}$
$y^{\prime}$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$1 = y^{\prime} \left( \frac{1}{1+y^2} - 1 \right)$
$1 = y^{\prime} \left( \frac{1 - (1+y^2)}{1+y^2} \right)$
$1 = y^{\prime} \left( \frac{-y^2}{1+y^2} \right)$
$y^{\prime} = -\frac{1+y^2}{y^2}$
अब,$y^{\prime}$ का मान अवकल समीकरण $y^2 y^{\prime} + y^2 + 1 = 0$ के बाएँ पक्ष $(L.H.S.)$ में रखने पर:
$L.H.S. = y^2 \left( -\frac{1+y^2}{y^2} \right) + y^2 + 1$
$L.H.S. = -(1+y^2) + y^2 + 1$
$L.H.S. = -1 - y^2 + y^2 + 1 = 0$
चूंकि $L.H.S. = R.H.S.$,अतः दिया गया फलन अवकल समीकरण का हल है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(x+y) = \frac{d}{dx}(\tan^{-1} y)$
$1 + y^{\prime} = \frac{1}{1+y^2} y^{\prime}$
$y^{\prime}$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$1 = y^{\prime} \left( \frac{1}{1+y^2} - 1 \right)$
$1 = y^{\prime} \left( \frac{1 - (1+y^2)}{1+y^2} \right)$
$1 = y^{\prime} \left( \frac{-y^2}{1+y^2} \right)$
$y^{\prime} = -\frac{1+y^2}{y^2}$
अब,$y^{\prime}$ का मान अवकल समीकरण $y^2 y^{\prime} + y^2 + 1 = 0$ के बाएँ पक्ष $(L.H.S.)$ में रखने पर:
$L.H.S. = y^2 \left( -\frac{1+y^2}{y^2} \right) + y^2 + 1$
$L.H.S. = -(1+y^2) + y^2 + 1$
$L.H.S. = -1 - y^2 + y^2 + 1 = 0$
चूंकि $L.H.S. = R.H.S.$,अतः दिया गया फलन अवकल समीकरण का हल है।
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