मूल बिंदु से गुजरने वाले और जिनके केंद्र y-अक | vedclass

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Question

(A) मूल बिंदु से गुजरने वाले और $y$-अक्ष पर केंद्र वाले वृत्त का सामान्य समीकरण $x^{2} + (y-a)^{2} = a^{2}$ है,जहाँ $a$ एक स्वेच्छ अचर है।इसका विस्तार

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$(x^{2}-y^{2}) \frac{dy}{dx}-2xy=0$

Vedclass · Answer

(A) मूल बिंदु से गुजरने वाले और $y$-अक्ष पर केंद्र वाले वृत्त का सामान्य समीकरण $x^{2} + (y-a)^{2} = a^{2}$ है,जहाँ $a$ एक स्वेच्छ अचर है।इसका विस्तार करने पर,$x^{2} + y^{2} - 2ay + a^{2} = a^{2}$,जो सरल होकर $x^{2} + y^{2} - 2ay = 0$ हो जाता है।स्वेच्छ अचर $a$ को हटाने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:$2x + 2y \frac{dy}{dx} - 2a \frac{dy}{dx} = 0$.$2$ से भाग देने पर,$x + y \frac{dy}{dx} - a \frac{dy}{dx} = 0$,जिसका अर्थ है $a = \frac{x + y \frac{dy}{dx}}{\frac{dy}{dx}} = x \frac{dx}{dy} + y$.$a$ का मान मूल समीकरण $x^{2} + y^{2} = 2ay$ में रखने पर:$x^{2} + y^{2} = 2(x \frac{dx}{dy} + y)y = 2xy \frac{dx}{dy} + 2y^{2}$.पुनर्व्यवस्थित करने पर,$x^{2} - y^{2} = 2xy \frac{dx}{dy}$.चूँकि $\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}}$,इसलिए $x^{2} - y^{2} = \frac{2xy}{\frac{dy}{dx}}$.अतः,$(x^{2} - y^{2}) \frac{dy}{dx} = 2xy$,या $(x^{2} - y^{2}) \frac{dy}{dx} - 2xy = 0$.

मूल बिंदु से गुजरने वाले और जिनके केंद्र $y$-अक्ष पर स्थित हैं,उन सभी वृत्तों का अवकल समीकरण क्या है?

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