જેના નાભિ $(\pm 2, 0)$ અને ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \frac{1}{2}$ હોય તેવા ઉપવલયનું સમીકરણ શું છે?

જો વક્રો $\frac{x^{2}}{a}+\frac{y^{2}}{b}=1$ અને $\frac{x^{2}}{c}+\frac{y^{2}}{d}=1$ એકબીજાને $90^{\circ}$ ના ખૂણે છેદે,તો નીચેનામાંથી કયો સંબંધ સાચો છે?

ઉપવલય $4x^2 + 9y^2 - 8x - 36y + 4 = 0$ ના નાભિલંબની લંબાઈ કેટલી છે?

ધારો કે વક્રો $4(x^{2}+y^{2}) = 9$ અને $y^{2} = 4x$ ના સામાન્ય સ્પર્શકો બિંદુ $Q$ માં છેદે છે. ધારો કે ઉગમબિંદુ $O$ પર કેન્દ્રિત એક ઉપવલય છે,જેના અર્ધ-લઘુ અક્ષ અને અર્ધ-ગુરુ અક્ષની લંબાઈ અનુક્રમે $OQ$ અને $6$ છે. જો $e$ અને $l$ એ આ ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા અને નાભિલંબની લંબાઈ દર્શાવતા હોય,તો $\frac{l}{e^{2}}$ ની કિંમત શોધો.

જો $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ઉપવલયમાં અંતર્ગત મહત્તમ ક્ષેત્રફળ ધરાવતા લંબચોરસની લંબાઈ અને પહોળાઈ અનુક્રમે $8 \sqrt{2}$ અને $4 \sqrt{2}$ હોય,તો તે ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા શોધો.

જો $\alpha x+\beta y=109$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ ની જીવાનું સમીકરણ હોય,જેનું મધ્યબિંદુ $\left(\frac{5}{2}, \frac{1}{2}\right)$ હોય,તો $\alpha+\beta$ ની કિંમત શોધો.