જો $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ઉપવલયમાં અંતર્ગત મહત્તમ ક્ષેત્રફળ ધરાવતા લંબચોરસની લંબાઈ અને પહોળાઈ અનુક્રમે $8 \sqrt{2}$ અને $4 \sqrt{2}$ હોય,તો તે ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા શોધો.

એક ઉપવલયમાં,ધારો કે $B$ એ ગૌણ અક્ષનો એક અંત્યબિંદુ છે,$F$ અને $F'$ એ નાભિઓ છે અને $\angle FBF' = 90^{\circ}$ છે. તો ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા શોધો:

બિંદુ $P(3,4)$ માંથી ઉપવલય $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ પર સ્પર્શકો દોરવામાં આવે છે જે ઉપવલયને $A$ અને $B$ બિંદુઓ પર સ્પર્શે છે.
$1.$ $A$ અને $B$ ના યામો છે
$(A)$ $(3,0)$ અને $(0,2)$
$(B)$ $\left(-\frac{8}{5}, \frac{2 \sqrt{161}}{15}\right)$ અને $\left(-\frac{9}{5}, \frac{8}{5}\right)$
$(C)$ $\left(-\frac{8}{5}, \frac{2 \sqrt{161}}{15}\right)$ અને $(0,2)$
$(D)$ $(3,0)$ અને $\left(-\frac{9}{5}, \frac{8}{5}\right)$
$2.$ ત્રિકોણ $PAB$ નું લંબકેન્દ્ર છે
$(A)$ $\left(5, \frac{8}{7}\right)$ $(B)$ $\left(\frac{7}{5}, \frac{25}{8}\right)$
$(C)$ $\left(\frac{11}{5}, \frac{8}{5}\right)$ $(D)$ $\left(\frac{8}{25}, \frac{7}{5}\right)$
$3.$ તે બિંદુના બિંદુપથનું સમીકરણ જેનું બિંદુ $P$ અને રેખા $AB$ થી અંતર સમાન હોય,તે છે
$(A)$ $9 x^2+y^2-6 x y-54 x-62 y+241=0$
$(B)$ $x^2+9 y^2+6 x y-54 x+62 y-241=0$
$(C)$ $9 x^2+9 y^2-6 x y-54 x-62 y-241=0$
$(D)$ $x^2+y^2-2 x y+27 x+31 y-120=0$
પ્રશ્ન $1, 2$ અને $3$ ના જવાબ આપો.

આપેલ શરતો સંતોષતા ઉપવલયનું સમીકરણ શોધો: શિરોબિંદુઓ $(0, \pm 13)$,નાભિઓ $(0, \pm 5)$.

જો $6x - 5y - 20 = 0$ એ ઉપવલય $x^2 + 3y^2 = k$ નો અભિલંબ હોય,તો $k =$

જો ઉપવલય $x^2+2y^2=2$ ને સ્પર્શકો દોરવામાં આવે,તો તે સ્પર્શકો દ્વારા યામ અક્ષો વચ્ચે બનતા અંતઃખંડોના મધ્યબિંદુઓનો બિંદુપથ શું છે?