$M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली पृथ्वी की सतह से $m$ द्रव्यमान के उपग्रह को $2R$ की ऊँचाई पर प्रक्षेपित करने के लिए आवश्यक न्यूनतम ऊर्जा क्या है?

पृथ्वी की सतह पर स्थित '$m$' द्रव्यमान को पृथ्वी की त्रिज्या के बराबर ऊँचाई पर ले जाया जाता है। यदि '$R$' पृथ्वी की त्रिज्या है और '$M$' पृथ्वी का द्रव्यमान है,तो इस प्रक्रिया में किया गया कार्य क्या होगा?

$m$ द्रव्यमान का एक पिंड पृथ्वी की सतह से $R$ ऊँचाई से गिरता है,जहाँ $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है। जमीन पर पहुँचने पर पिंड द्वारा प्राप्त वेग क्या है? (पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g$ है)

$m$ द्रव्यमान के एक पिंड को पृथ्वी की सतह से $2R$ की ऊँचाई से मुक्त किया जाता है। पृथ्वी की सतह से $R$ की ऊँचाई पर इसकी गतिज ऊर्जा क्या होगी? (जहाँ $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है)

एक वस्तु को पृथ्वी से $R$ ऊँचाई से गिरने दिया जाता है,जहाँ $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानते हुए,पृथ्वी की सतह से टकराते समय इसका वेग क्या होगा?

मान लीजिए कि $R$ और $2R$ त्रिज्या वाले दो ग्रह (गोलाकार),जिनका द्रव्यमान क्रमशः $M$ और $9M$ है,उनके केंद्रों के बीच की दूरी $8R$ है,जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। $m$ द्रव्यमान के एक उपग्रह को $M$ द्रव्यमान वाले ग्रह की सतह से सीधे दूसरे ग्रह के केंद्र की ओर प्रक्षेपित किया जाता है। उपग्रह को दूसरे ग्रह की सतह तक पहुँचने के लिए आवश्यक न्यूनतम गति $v = \sqrt{\frac{a}{7} \frac{GM}{R}}$ है,तो $a$ का मान ज्ञात कीजिए।
[दिया गया है: दोनों ग्रह अपनी स्थिति में स्थिर हैं]