$M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली एक वलय (ring) की उसके अपने तल में स्थित स्पर्शरेखा (tangent) के परितः जड़त्व आघूर्ण क्या है?

चित्र में दिखाए अनुसार $M$ द्रव्यमान और $r$ त्रिज्या वाली दो पतली डिस्क को जोड़कर एक दृढ़ पिंड बनाया गया है। डिस्क $B$ के तल के लंबवत और उसके केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः इस पिंड का जड़त्व आघूर्ण क्या होगा ($,Mr^2$ में)?

$M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली एक समान वृत्ताकार वलय (ring) की,वलय के स्पर्शरेखीय और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण क्या है?

समानांतर अक्षों के प्रमेय $I = I_g + Md^2$ के अनुसार,$I$ और $d$ के बीच का ग्राफ कैसा होगा?

$2 \,m$ त्रिज्या और $1 \,kg$ द्रव्यमान वाली एक वृत्ताकार डिस्क का उसके द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली और डिस्क के तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $2 \,kg \,m^{2}$ है। इस अक्ष के समानांतर और डिस्क के किनारे से गुजरने वाली अक्ष के परितः इसका जड़त्व आघूर्ण क्या होगा? (दी गई आकृति देखें)।

$(a)$ लंब अक्षों के प्रमेय को सिद्ध कीजिए। (संकेत: $x-y$ तल में एक बिंदु $(x, y)$ की मूल बिंदु से गुजरने वाली और तल के लंबवत अक्ष से दूरी का वर्ग $x^{2}+y^{2}$ है)
$(b)$ समांतर अक्षों के प्रमेय को सिद्ध कीजिए। (संकेत: यदि $n$ कणों के निकाय के द्रव्यमान केंद्र को मूल बिंदु माना जाए,तो $\sum m_{i} r_{i}=0$)