निम्नलिखित में से किस आव्यूह की कोटि (rank) 3 | vedclass

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Question

(C) $3 	imes 3$ आव्यूह की कोटि ज्ञात करने के लिए,हम उसका सारणिक (determinant) निकालते हैं। यदि सारणिक शून्य नहीं है,तो कोटि $3$ है।विकल्प $(A)$: मान

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$\left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & 2 \ -1 & 0 & 5 \ -2 & 7 & 0\end{array}ight]$

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(C) $3 	imes 3$ आव्यूह की कोटि ज्ञात करने के लिए,हम उसका सारणिक (determinant) निकालते हैं। यदि सारणिक शून्य नहीं है,तो कोटि $3$ है।विकल्प $(A)$: मान लीजिए $A = \left[\begin{array}{ccc}10 & 11 & 12 \ 11 & 12 & 13 \ 12 & 13 & 14\end{array}ight]$। पंक्तियाँ समांतर श्रेणी में हैं। $R_2 - R_1 = [1, 1, 1]$ और $R_3 - R_2 = [1, 1, 1]$। अतः,$\det(A) = 0$ और $	ext{rank}(A) विकल्प $(B)$: मान लीजिए $B = \left[\begin{array}{ccc}0 & -51 & 101 \ 51 & 0 & -581 \ -101 & 581 & 0\end{array}ight]$। यह एक विषम-सममित आव्यूह है। विषम कोटि के विषम-सममित आव्यूह का सारणिक हमेशा $0$ होता है। अतः,$	ext{rank}(B) विकल्प $(C)$: मान लीजिए $C = \left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & 2 \ -1 & 0 & 5 \ -2 & 7 & 0\end{array}ight]$। सारणिक की गणना करने पर: $\det(C) = 0(0 - 35) - 1(0 - (-10)) + 2(-7 - 0) = 0 - 10 - 14 = -24$। चूँकि $\det(C) 
eq 0$,इसलिए आव्यूह $C$ की कोटि $3$ है।विकल्प $(D)$: मान लीजिए $D = \left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \ 2 & 4 & 6 \ 3 & 6 & 9\end{array}ight]$। यहाँ,$R_2 = 2R_1$ और $R_3 = 3R_1$ है। अतः,$\det(D) = 0$ और $	ext{rank}(D) = 1$ है।अतः,सही विकल्प $(C)$ है।

निम्नलिखित में से किस आव्यूह की कोटि (rank) $3$ है?

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यदि $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} -\sin x & 2 \sin 2x & 4 \cos^2 x \\ \cos x & 4 \sin^2 x & 2 \sin 2x \\ 0 & -\cos x & \sin x \end{array} \right|$ है, तो $f\left(\frac{5\pi}{4}\right) + f'\left(\frac{5\pi}{4}\right) = $

आव्यूह $\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$ की कोटि (rank) है

$f(x) = \left| \begin{array}{ccc} x^3 & x^2 & 3x^2 \\ 1 & -6 & 4 \\ p & p^2 & p^3 \end{array} \right|$,जहाँ $p$ एक स्थिरांक है,तो $\frac{d^3f(x)}{dx^3}$ क्या है?

मान लीजिए $\Delta = \begin{vmatrix} \sin \theta \cos \phi & \sin \theta \sin \phi & \cos \theta \\ \cos \theta \cos \phi & \cos \theta \sin \phi & -\sin \theta \\ -\sin \theta \sin \phi & \sin \theta \cos \phi & 0 \end{vmatrix}$. तो:

यदि $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 2 & 4 & 8 & 12 \\ 0 & 0 & 0 & 4 & 8 \end{bmatrix}$ है,तो $A$ की कोटि (rank) क्या है?

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