त्रिघात बहुपद $P(x) = 2x^3 + x^2 + 3x - 2$ के बारे में निम्नलिखित छह कथनों में से कौन से सत्य हैं?
$(i)$ इसका ठीक एक धनात्मक वास्तविक मूल है।
$(ii)$ इसके या तो एक या तीन ऋणात्मक मूल हैं।
$(iii)$ इसका एक मूल $0$ और $1$ के बीच है।
$(iv)$ इसके ठीक दो वास्तविक मूल होने चाहिए।
$(v)$ इसका एक ऋणात्मक मूल $-2$ और $-1$ के बीच है।
$(vi)$ इसका कोई सम्मिश्र मूल नहीं है।

मान लीजिए $R^2$,$R \times R$ को दर्शाता है। मान लीजिए $S = \{(a, b, c) : a, b, c \in R \text{ और } ax^2 + 2bxy + cy^2 > 0, \text{ सभी } (x, y) \in R^2 - \{(0, 0)\} \text{ के लिए }\}$। तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन $TRUE$ है?
$(A) (2, \frac{7}{2}, 6) \in S$
$(B) \text{यदि } (3, b, \frac{1}{12}) \in S, \text{ तो } |2b| < 1$
$(C) \text{किसी भी दिए गए } (a, b, c) \in S \text{ के लिए, रैखिक समीकरण निकाय } ax + by = 1, bx + cy = -1 \text{ का एक अद्वितीय हल है.}$
$(D) \text{किसी भी दिए गए } (a, b, c) \in S \text{ के लिए, रैखिक समीकरण निकाय } (a+1)x + by = 0, bx + (c+1)y = 0 \text{ का एक अद्वितीय हल है.}$

मान लीजिए $p(x) = x^2 + ax + b$ के दो भिन्न वास्तविक मूल हैं,जहाँ $a, b$ वास्तविक संख्याएँ हैं। सभी वास्तविक संख्या $x$ के लिए $g(x) = p(x^3)$ को परिभाषित करें। तो,निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?
$I.$ $g$ के ठीक दो भिन्न वास्तविक मूल हैं।
$II.$ $g$ के दो से अधिक भिन्न वास्तविक मूल हो सकते हैं।
$III.$ एक ऐसी वास्तविक संख्या $\alpha$ मौजूद है कि सभी वास्तविक $x$ के लिए $g(x) \geq \alpha$ है।

$x > 2$ के लिए,समीकरण $\sqrt{x+2} - \sqrt{x-2} = \sqrt{4x-2}$ के

यदि $x = \sqrt{7} + \sqrt{3}$ और $xy = 4$ है,तो $x^4 + y^4 =$ क्या होगा?

मान लीजिए $f(x)$ एक द्विघात बहुपद है जहाँ $f(2)=10$ और $f(-2)=-2$ है। तो,$f(x)$ में $x$ का गुणांक क्या है?