मान लीजिए p(x) = x^2 + ax + b के दो भिन्न वास | vedclass

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Question

(B) दिया गया है कि $p(x) = x^2 + ax + b$ के दो भिन्न वास्तविक मूल $r_1$ और $r_2$ हैं। अतः,$p(x) = (x - r_1)(x - r_2)$.तब $g(x) = p(x^3) = (x^3 - r_1)(

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$I$ और $III$ दोनों

Vedclass · Answer

(B) दिया गया है कि $p(x) = x^2 + ax + b$ के दो भिन्न वास्तविक मूल $r_1$ और $r_2$ हैं। अतः,$p(x) = (x - r_1)(x - r_2)$.तब $g(x) = p(x^3) = (x^3 - r_1)(x^3 - r_2)$.किसी भी वास्तविक $r$ के लिए $x^3 - r = 0$ का ठीक एक वास्तविक मूल होता है,इसलिए $g(x)$ के मूल $x = \sqrt[3]{r_1}$ और $x = \sqrt[3]{r_2}$ हैं।चूंकि $r_1 
eq r_2$,इसलिए $\sqrt[3]{r_1} 
eq \sqrt[3]{r_2}$ है। अतः,$g(x)$ के ठीक दो भिन्न वास्तविक मूल हैं। कथन $I$ सत्य है और $II$ असत्य है।कथन $III$ के लिए,$g(x) = (x^3)^2 + a(x^3) + b = x^6 + ax^3 + b$. जैसे $x 	o \infty$,$g(x) 	o \infty$. चूंकि $g(x)$ सम घात $(6)$ का एक सतत बहुपद है,इसका एक वैश्विक न्यूनतम मान होगा। अतः,एक ऐसी वास्तविक संख्या $\alpha$ मौजूद है कि सभी वास्तविक $x$ के लिए $g(x) \geq \alpha$ है। कथन $III$ सत्य है।इसलिए,$I$ और $III$ दोनों सत्य हैं।

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