સમાન કક્ષા $n$ ના બે ચોરસ શ્રેણિકો $A$ અને $B$ માટે નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?

ધારો કે $p$ એક એકી અવિભાજ્ય સંખ્યા છે અને $T_p$ એ $2 \times 2$ શ્રેણિકોનો ગણ છે:
$T_p = \left\{ A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & a \end{bmatrix} : a, b, c \in \{0, 1, \ldots, p-1\} \right\}$
$1.$ $T_p$ માં એવા શ્રેણિકો $A$ ની સંખ્યા શોધો કે જે સંમિત અથવા વિસંમિત અથવા બંને હોય,અને $\det(A)$ એ $p$ વડે વિભાજ્ય હોય.
$(A) (p-1)^2$ $(B) 2(p-1)$ $(C) (p-1)^2+1$ $(D) 2p-1$
$2.$ $T_p$ માં એવા શ્રેણિકો $A$ ની સંખ્યા શોધો કે જેનો ટ્રેસ $p$ વડે વિભાજ્ય ન હોય પરંતુ $\det(A)$ એ $p$ વડે વિભાજ્ય હોય.
$(A) (p-1)(p^2-p+1)$ $(B) p^3-(p-1)^2$ $(C) (p-1)^2$ $(D) (p-1)(p^2-2)$
$3.$ $T_p$ માં એવા શ્રેણિકો $A$ ની સંખ્યા શોધો કે જેનો $\det(A)$ એ $p$ વડે વિભાજ્ય ન હોય.
$(A) 2p^2$ $(B) p^3-5p$ $(C) p^3-3p$ $(D) p^3-p^2$

$(1+\Delta)(1-\nabla)$ ની કિંમત શું છે?

જો $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}$ હોય અને $A^3 - 2A^2 + kA - 4I_3 = 0$ હોય,તો $k = $ . . . . . . .

જો $A$ અને $B$ એ $3$ કક્ષાના બે ચોરસ શ્રેણિકો છે જેથી $AB = A$ અને $BA = B$,અને શ્રેણિકો $X$ અને $Y$ ને $X = A^4 + B^4$ અને $Y = A^{10} + B^{10}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે,તો શ્રેણિક $X - Y$ શું છે?

ધારો કે $A$ અને $B$ બે $3 \times 3$ વાસ્તવિક શ્રેણિકો છે જેથી $(A^{2}-B^{2})$ એ વ્યસ્ત શ્રેણિક છે. જો $A^{5}=B^{5}$ અને $A^{3} B^{2}=A^{2} B^{3}$ હોય,તો શ્રેણિક $A^{3}+B^{3}$ ના નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય કેટલું થાય?