નીચેનામાંથી કયું વિધાન ખોટું છે?

ગણ $\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ પર દ્વિક્રિયા $^*$ ને $a \,^* \, b = \begin{cases} a+b, & \text{જો } a+b < 6 \\ a+b-6, & \text{જો } a+b \geq 6 \end{cases}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરો. સાબિત કરો કે $0$ એ આ ક્રિયા માટે તટસ્થ ઘટક છે અને ગણનો દરેક ઘટક $a \neq 0$ વ્યસ્ત સંપન્ન છે,જ્યાં $6-a$ એ $a$ નો વ્યસ્ત છે.

ધારો કે $*^{\prime}$ એ ગણ $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ પરની દ્રીકક્રિયા છે જે $a *^{\prime} b = a$ અને $b$ નો ગુ.સા.અ. ($H$.$C$.$F$.) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. શું ક્રિયા $*^{\prime}$ એ ઉપરના સ્વાધ્યાય $4$ માં વ્યાખ્યાયિત ક્રિયા $*$ જેવી જ છે? તમારા જવાબનું સમર્થન કરો.

કોઈપણ બે વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે,$a * b = 1 + ab$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત ક્રિયા $*$ એ

$N$ પર એક દ્વિ ક્રિયા $*$ ને $a * b = a^{3} + b^{3}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી છે. સાચો જવાબ પસંદ કરો.

સાબિત કરો કે $\{1, 2\}$ પર $1$ ને તટસ્થ ઘટક (identity) તરીકે અને $2$ ને $2$ ના વ્યસ્ત (inverse) તરીકે ધરાવતી દ્રીકક્રિયાઓની સંખ્યા માત્ર એક જ છે.