ગણ $\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ પર દ્વિક્રિયા $^*$ ને $a \,^* \, b = \begin{cases} a+b, & \text{જો } a+b < 6 \\ a+b-6, & \text{જો } a+b \geq 6 \end{cases}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરો. સાબિત કરો કે $0$ એ આ ક્રિયા માટે તટસ્થ ઘટક છે અને ગણનો દરેક ઘટક $a \neq 0$ વ્યસ્ત સંપન્ન છે,જ્યાં $6-a$ એ $a$ નો વ્યસ્ત છે.

(A) ધારો કે $X = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$.
$X$ પરની ક્રિયા $^*$ ને $a \,^* \, b = \begin{cases} a+b, & \text{જો } a+b < 6 \\ a+b-6, & \text{જો } a+b \geq 6 \end{cases}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી છે.
$X$ નો ઘટક $e$ એ ક્રિયા $^*$ માટે તટસ્થ ઘટક કહેવાય જો તમામ $a \in X$ માટે $a \,^* \, e = a = e \,^* \, a$ થાય.
$a \in X$ માટે,આપણી પાસે છે:
$a \,^* \, 0 = a + 0 = a$ (કારણ કે $a \in X \Rightarrow a+0 < 6$)
$0 \,^* \, a = 0 + a = a$ (કારણ કે $a \in X \Rightarrow 0+a < 6$)
તેથી,તમામ $a \in X$ માટે $a \,^* \, 0 = a = 0 \,^* \, a$ થાય છે.
આમ,$0$ એ આપેલી ક્રિયા $^*$ માટે તટસ્થ ઘટક છે.
$X$ નો ઘટક $a$ વ્યસ્ત સંપન્ન કહેવાય જો કોઈ $b \in X$ એવું મળે કે જેથી $a \,^* \, b = 0 = b \,^* \, a$ થાય.
જો $a \neq 0$ હોય,તો ધારો કે $b = 6-a$. કારણ કે $a \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$,તેથી $b \in \{5, 4, 3, 2, 1\} \subset X$.
ત્યારે $a \,^* \, b = a + (6-a) - 6 = 0$ (કારણ કે $a+b = 6 \geq 6$).
તે જ રીતે,$b \,^* \, a = (6-a) + a - 6 = 0$.
આમ,$6-a$ એ દરેક $a \in X, a \neq 0$ માટે $a$ નો વ્યસ્ત છે.