विषम-सममित (skew-symmetric) आव्यूहों के संबंध | vedclass

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Question

(B) मान लीजिए $A$,$n 	imes n$ क्रम का एक विषम-सममित आव्यूह है। परिभाषा के अनुसार,$A^T = -A$ होता है। दोनों पक्षों का सारणिक (determinant) लेने पर,हमे

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विषम क्रम का विषम-सममित आव्यूह अव्युत्क्रमणीय (singular) होता है

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(B) मान लीजिए $A$,$n 	imes n$ क्रम का एक विषम-सममित आव्यूह है। परिभाषा के अनुसार,$A^T = -A$ होता है। दोनों पक्षों का सारणिक (determinant) लेने पर,हमें $\det(A^T) = \det(-A)$ प्राप्त होता है। चूंकि $\det(A^T) = \det(A)$ और $\det(-A) = (-1)^n \det(A)$,इसलिए $\det(A) = (-1)^n \det(A)$ होता है। यदि $n$ विषम है,तो $(-1)^n = -1$,अतः $\det(A) = -\det(A)$,जिसका अर्थ है कि $2 \det(A) = 0$,या $\det(A) = 0$। जिस आव्यूह का सारणिक $0$ होता है,उसे अव्युत्क्रमणीय (singular) आव्यूह कहा जाता है। इसलिए,विषम क्रम का विषम-सममित आव्यूह हमेशा अव्युत्क्रमणीय होता है।

विषम-सममित (skew-symmetric) आव्यूहों के संबंध में निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही है?

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आव्यूह $B=\left[\begin{array}{rrr}2 & -2 & -4 \\ -1 & 3 & 4 \\ 1 & -2 & -3\end{array}\right]$ को एक सममित और एक विषम सममित आव्यूह के योग के रूप में व्यक्त कीजिए।

यदि $A=\begin{bmatrix}-1 & 2 & 3 \\ 5 & 7 & 9 \\ -2 & 1 & 1\end{bmatrix}$ और $B=\begin{bmatrix}-4 & 1 & -5 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 3 & 1\end{bmatrix}$ है,तो सत्यापित कीजिए कि $(A+B)^{\prime}=A^{\prime}+B^{\prime}$।

दिए गए आव्यूह $A = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$ के लिए,निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?

आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} \\ -1/\sqrt{2} & -1/\sqrt{2} \end{bmatrix}$ है

मान लीजिए $A$ और $B$ समान कोटि के दो वर्ग आव्यूह हैं। यदि $A$ और $B$ सममित आव्यूह हैं, तो $AB - BA$ है

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