બે સદિશોનો ગુણાકાર ક્રમનો નિયમ કેમ પાળતો નથી?

બે સદિશોનો ગુણાકાર બે રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે: અદિશ ગુણાકાર (ડોટ પ્રોડક્ટ) અને સદિશ ગુણાકાર (ક્રોસ પ્રોડક્ટ).
$1$. અદિશ ગુણાકાર $\vec{A} \cdot \vec{B} = AB \cos \theta$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે. $\cos \theta = \cos(-\theta)$ હોવાથી,અદિશ ગુણાકાર ક્રમનો નિયમ પાળે છે,એટલે કે $\vec{A} \cdot \vec{B} = \vec{B} \cdot \vec{A}$.
$2$. સદિશ ગુણાકાર $\vec{A} \times \vec{B} = AB \sin \theta \hat{n}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જ્યાં $\hat{n}$ એ $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ ધરાવતા સમતલને લંબ એકમ સદિશ છે જે જમણા હાથના નિયમ દ્વારા નક્કી થાય છે.
$3$. જમણા હાથના નિયમ મુજબ,$\vec{A} \times \vec{B}$ ની દિશા $\vec{B} \times \vec{A}$ ની દિશાથી વિરુદ્ધ હોય છે.
$4$. તેથી,$\vec{A} \times \vec{B} = -(\vec{B} \times \vec{A})$.
$5$. દિશા બદલાતી હોવાથી,સદિશ ગુણાકાર એ પ્રતિ-ક્રમવિનિમયી (anti-commutative) છે,ક્રમવિનિમયી નથી.