પરિમાણીય સમાનતાનો સિદ્ધાંત લખો અને સમજાવો. આપેલ સમીકરણ $x = x_{0} + v_{0}t + \frac{1}{2}at^{2}$ ની પરિમાણીય સુસંગતતા ચકાસો.

(A) પરિમાણીય સમાનતાનો સિદ્ધાંત જણાવે છે કે સમાન પરિમાણ ધરાવતી ભૌતિક રાશિઓનો જ સરવાળો કે બાદબાકી થઈ શકે છે.
આ સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ આપેલ સમીકરણની પરિમાણીય સુસંગતતા ચકાસવા માટે થાય છે. સમીકરણ પરિમાણીય રીતે સુસંગત હોવા માટે,સમીકરણની બંને બાજુના દરેક પદના પરિમાણ સમાન હોવા જોઈએ.
નોંધ: પરિમાણીય સુસંગતતા એ સમીકરણની ભૌતિક ચોકસાઈની ખાતરી આપતું નથી,કારણ કે તે પરિમાણરહિત અચળાંકો અથવા વિધેયોને ધ્યાનમાં લઈ શકતું નથી.
ઉદાહરણ: $x = x_{0} + v_{0}t + \frac{1}{2}at^{2}$ ની સુસંગતતા ચકાસો.
અહીં,$x$ એ અંતિમ સ્થાન છે,$x_{0}$ એ પ્રારંભિક સ્થાન છે,$v_{0}$ એ પ્રારંભિક વેગ છે,$a$ એ પ્રવેગ છે અને $t$ એ સમય છે.
$1$. $LHS$ $(x)$ નું પરિમાણ: $[L^1] = [M^0 L^1 T^0]$.
$2$. $RHS$ ના પદોના પરિમાણ:
- $x_{0}$ નું પરિમાણ: $[L^1] = [M^0 L^1 T^0]$.
- $v_{0}t$ નું પરિમાણ: $[L^1 T^{-1}] \times [T^1] = [L^1] = [M^0 L^1 T^0]$.
- $\frac{1}{2}at^{2}$ નું પરિમાણ: $\frac{1}{2}$ પરિમાણરહિત અચળાંક હોવાથી,પરિમાણ $[L^1 T^{-2}] \times [T^2] = [L^1] = [M^0 L^1 T^0]$ થશે.
બંને બાજુના તમામ પદોના પરિમાણ સમાન હોવાથી,સમીકરણ પરિમાણીય રીતે સુસંગત છે.