Mix Examples - Probability Questions in Hindi

(A) $(i)$ थैले में गेंदों की कुल संख्या $= 3 + 5 = 8$ है।
लाल गेंद निकालने की प्रायिकता का सूत्र है: $P(\text{लाल}) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल संभावित परिणामों की संख्या}}$.
$P(\text{लाल}) = \frac{3}{8}$.
$(ii)$ लाल गेंद न होने की प्रायिकता, लाल गेंद होने की प्रायिकता की पूरक घटना है।
$P(\text{लाल नहीं}) = 1 - P(\text{लाल})$.
$P(\text{लाल नहीं}) = 1 - \frac{3}{8} = \frac{8 - 3}{8} = \frac{5}{8}$.

(A) कंचों की कुल संख्या $= 5 + 8 + 4 = 17$.
$(i)$ लाल कंचों की संख्या $= 5$.
लाल कंचा प्राप्त करने की प्रायिकता $= \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल संभावित परिणामों की संख्या}} = \frac{5}{17}$.
$(ii)$ सफेद कंचों की संख्या $= 8$.
सफेद कंचा प्राप्त करने की प्रायिकता $= \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल संभावित परिणामों की संख्या}} = \frac{8}{17}$.
$(iii)$ हरे कंचों की संख्या $= 4$.
हरा कंचा प्राप्त करने की प्रायिकता $= \frac{4}{17}$.
हरा कंचा न प्राप्त करने की प्रायिकता $= 1 - P(\text{हरा}) = 1 - \frac{4}{17} = \frac{13}{17}$.

(C) $(i)$ बल्बों की कुल संख्या $= 20$.
खराब बल्बों की कुल संख्या $= 4$.
$P(\text{खराब बल्ब}) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल संभावित परिणामों की संख्या}} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}$.
$(ii)$ एक सही बल्ब निकालने के बाद,शेष बल्बों की कुल संख्या $= 20 - 1 = 19$.
शेष सही बल्बों की संख्या $= (20 - 4) - 1 = 15$.
$P(\text{सही बल्ब}) = \frac{\text{सही बल्बों की संख्या}}{\text{शेष कुल बल्ब}} = \frac{15}{19}$.

(N/A) कुल डिस्क की संख्या $= 90$ है।
$(i)$ $1$ से $90$ तक दो अंकों की संख्याएँ $10, 11, \dots, 90$ हैं। कुल संख्या $90 - 9 = 81$ है।
$P(\text{दो अंकों की संख्या}) = \frac{81}{90} = \frac{9}{10}$।
$(ii)$ $1$ से $90$ के बीच पूर्ण वर्ग संख्याएँ $1^2=1, 2^2=4, 3^2=9, 4^2=16, 5^2=25, 6^2=36, 7^2=49, 8^2=64, 9^2=81$ हैं। कुल संख्या $9$ है।
$P(\text{पूर्ण वर्ग संख्या}) = \frac{9}{90} = \frac{1}{10}$।
$(iii)$ $1$ से $90$ के बीच $5$ से विभाज्य संख्याएँ $5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90$ हैं। कुल संख्या $18$ है।
$P(5 \text{ से विभाज्य संख्या}) = \frac{18}{90} = \frac{1}{5}$।

(A) $(i)$ $\text{गलत}$
जब दो सिक्कों को उछाला जाता है,तो संभावित परिणाम $(H, H), (H, T), (T, H),$ और $(T, T)$ होते हैं।
यह देखा जा सकता है कि प्रत्येक का एक (एक चित और एक पट) प्राप्त करने के दो तरीके हैं: $(H, T)$ और $(T, H)$।
इसलिए,दो चित प्राप्त करने की प्रायिकता $\frac{1}{4}$ है,दो पट प्राप्त करने की प्रायिकता $\frac{1}{4}$ है,और प्रत्येक का एक प्राप्त करने की प्रायिकता $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ है।
अतः,इन परिणामों में से प्रत्येक के लिए प्रायिकता $\frac{1}{3}$ नहीं है।
$(ii)$ $\text{सही}$
जब एक पासा फेंका जाता है,तो संभावित परिणाम $1, 2, 3, 4, 5,$ और $6$ होते हैं। इनमें से $1, 3, 5$ $\text{विषम}$ संख्याएँ हैं और $2, 4, 6$ $\text{सम}$ संख्याएँ हैं।
चूंकि कुल $6$ परिणामों में से $3$ विषम संख्याएँ हैं,इसलिए एक विषम संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ है।

(3) कुल गेंदों की संख्या $= 12$.
काली गेंदों की कुल संख्या $= x$.
काली गेंद निकालने की प्रायिकता $P_1 = \frac{x}{12}$ है।
यदि $6$ और काली गेंदें डाली जाती हैं,तो गेंदों की नई कुल संख्या $= 12 + 6 = 18$.
काली गेंदों की नई संख्या $= x + 6$.
काली गेंद निकालने की नई प्रायिकता $P_2 = \frac{x+6}{18}$ है।
प्रश्न में दी गई शर्त के अनुसार,$P_2 = 2 \times P_1$.
अतः,$\frac{x+6}{18} = 2 \times \frac{x}{12}$.
$\frac{x+6}{18} = \frac{x}{6}$.
दोनों पक्षों को $18$ से गुणा करने पर,हमें $x + 6 = 3x$ प्राप्त होता है।
$2x = 6$,जिससे $x = 3$ प्राप्त होता है।

(A) ताश की गड्डी में कुल पत्तों की संख्या = $52$ है।
चिड़ी के राजा,रानी और गुलाम को हटाने के बाद,शेष पत्तों की संख्या $n(S) = 52 - 3 = 49$ है।
$(i)$ मान लीजिए $E_1$ पान (heart) का पत्ता प्राप्त करने की घटना है।
चूंकि एक गड्डी में $13$ पान के पत्ते होते हैं और उनमें से कोई भी नहीं निकाला गया है,इसलिए $n(E_1) = 13$ है।
अतः,प्रायिकता $P(E_1) = \frac{n(E_1)}{n(S)} = \frac{13}{49}$ है।
$(ii)$ मान लीजिए $E_2$ एक राजा प्राप्त करने की घटना है।
एक गड्डी में $4$ राजा होते हैं। चूंकि चिड़ी का राजा निकाल दिया गया है,इसलिए शेष राजाओं की संख्या $n(E_2) = 4 - 1 = 3$ है।
अतः,प्रायिकता $P(E_2) = \frac{n(E_2)}{n(S)} = \frac{3}{49}$ है।

(A) $2$ से $101$ तक की संख्याओं के लिए कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 101 - 2 + 1 = 100$ है।
$(i)$ मान लीजिए $E_1$ एक सम संख्या वाला कार्ड चुनने की घटना है। सम संख्याएँ $\{2, 4, 6, \dots, 100\}$ हैं।
यह एक समांतर श्रेणी है जहाँ $a = 2$,$d = 2$ और $l = 100$ है।
सूत्र $l = a + (n - 1)d$ का उपयोग करने पर,$100 = 2 + (n - 1)2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $98 = 2(n - 1)$,इसलिए $n - 1 = 49$,और $n = 50$ है।
अतः,$n(E_1) = 50$ है।
प्रायिकता $P(E_1) = \frac{n(E_1)}{n(S)} = \frac{50}{100} = \frac{1}{2}$ है।
$(ii)$ मान लीजिए $E_2$ एक पूर्ण वर्ग संख्या वाला कार्ड चुनने की घटना है।
$2$ और $101$ के बीच पूर्ण वर्ग संख्याएँ $\{4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100\}$ हैं।
ये $\{2^2, 3^2, 4^2, 5^2, 6^2, 7^2, 8^2, 9^2, 10^2\}$ के अनुरूप हैं।
अतः,$n(E_2) = 9$ है।
प्रायिकता $P(E_2) = \frac{n(E_2)}{n(S)} = \frac{9}{100}$ है।

(D) तीसरे बॉक्स में पर्चियों की कुल संख्या,$n(S) = 25 + 50 = 75$.
दी गई जानकारी के अनुसार:
बॉक्स $A$ में $Rs. 1$ अंकित पर्चियों की संख्या $= 19$.
बॉक्स $A$ में $Rs. 5$ अंकित पर्चियों की संख्या $= 25 - 19 = 6$.
बॉक्स $B$ में $Rs. 1$ अंकित पर्चियों की संख्या $= 45$.
बॉक्स $B$ में $Rs. 13$ अंकित पर्चियों की संख्या $= 50 - 45 = 5$.
$Rs. 1$ के अलावा अन्य राशि अंकित कुल पर्चियों की संख्या $= 6 + 5 = 11$.
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{\text{Rs. 1 के अलावा अन्य राशि अंकित पर्चियों की संख्या}}{\text{पर्चियों की कुल संख्या}} = \frac{11}{75}$.

(N/A) बल्बों की कुल संख्या, $n(S) = 24$.
खराब बल्बों की संख्या $= 6$.
अच्छे (खराब न होने वाले) बल्बों की संख्या $= 24 - 6 = 18$.
भाग $1$: बल्ब के खराब न होने की प्रायिकता:
$P(\text{खराब नहीं}) = \frac{\text{अच्छे बल्बों की संख्या}}{\text{बल्बों की कुल संख्या}} = \frac{18}{24} = \frac{3}{4}$.
भाग $2$: यदि चुना गया पहला बल्ब खराब है और उसे प्रतिस्थापित नहीं किया जाता है:
शेष बल्बों की कुल संख्या $= 24 - 1 = 23$.
शेष खराब बल्बों की संख्या $= 6 - 1 = 5$.
दूसरे बल्ब के खराब होने की प्रायिकता $= \frac{\text{शेष खराब बल्ब}}{\text{शेष कुल बल्ब}} = \frac{5}{23}$.

(N/A) दिया गया है,मोबाइल फोन की कुल संख्या $n(S) = 48$ है।
$(i)$ मान लीजिए $E_{1}$ वह घटना है कि वर्णिका मोबाइल फोन खरीदेगी।
वर्णिका केवल तभी खरीदेगी यदि वह अच्छा मोबाइल है।
इसलिए,$n(E_{1}) = 42$.
$P(E_{1}) = \frac{n(E_{1})}{n(S)} = \frac{42}{48} = \frac{7}{8}$.
$(ii)$ मान लीजिए $E_{2}$ वह घटना है कि व्यापारी मोबाइल फोन खरीदेगा।
व्यापारी केवल तभी खरीदेगा यदि उसमें कोई बड़ी खराबी न हो।
इसका अर्थ है कि व्यापारी $42$ अच्छे फोन और $3$ मामूली खराबी वाले फोन खरीदेगा।
इसलिए,$n(E_{2}) = 42 + 3 = 45$.
$P(E_{2}) = \frac{n(E_{2})}{n(S)} = \frac{45}{48} = \frac{15}{16}$.

(D) जब दो निष्पक्ष पासों को फेंका जाता है,तो संभावित परिणामों की कुल संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है। प्रतिदर्श समष्टि $S$ इस प्रकार है:
$S = \{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)\}$
मान लीजिए $E$ वह घटना है कि दोनों पासों पर संख्याओं का योग $3$ या $4$ का गुणज है। संभावित योग $2$ से $12$ तक हैं। $3$ के गुणज $3, 6, 9, 12$ हैं। $4$ के गुणज $4, 8, 12$ हैं।
अतः,हमें योग $\{3, 4, 6, 8, 9, 12\}$ समुच्चय में चाहिए।
योग $3$ वाले परिणाम: $(1,2), (2,1)$
योग $4$ वाले परिणाम: $(1,3), (2,2), (3,1)$
योग $6$ वाले परिणाम: $(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)$
योग $8$ वाले परिणाम: $(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)$
योग $9$ वाले परिणाम: $(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)$
योग $12$ वाले परिणाम: $(6,6)$
कुल अनुकूल परिणाम = $2 + 3 + 5 + 5 + 4 + 1 = 20$.
प्रायिकता $P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{20}{36} = \frac{5}{9}$.

(C) जब दो निष्पक्ष पासों को फेंका जाता है,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
संभावित परिणाम इस प्रकार हैं:
$(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6)$
$(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6)$
$(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6)$
$(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6)$
$(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6)$
$(6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)$
मान लीजिए $H$ वह घटना है कि दोनों पासों पर आई संख्याओं का योग $18$ का एक गुणनखंड है। $18$ के गुणनखंड $1, 2, 3, 6, 9, 18$ हैं। चूंकि न्यूनतम योग $2$ और अधिकतम योग $12$ है,इसलिए $18$ के गुणनखंड होने वाले संभावित योग $2, 3, 6, 9$ हैं।
प्रत्येक योग के लिए अनुकूल परिणाम:
योग $= 2: (1,1)$
योग $= 3: (1,2), (2,1)$
योग $= 6: (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)$
योग $= 9: (3,6), (4,5), (5,4), (6,3)$
अनुकूल परिणामों की कुल संख्या $= 1 + 2 + 5 + 4 = 12$.
प्रायिकता $P(H) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}$.

(D) आयत का क्षेत्रफल $=$ लंबाई $\times$ चौड़ाई
$= 28 \, cm \times 22 \, cm = 616 \, cm^2$
वृत्त के लिए,त्रिज्या $r = 7 \, cm$
वृत्त का क्षेत्रफल $= \pi r^2 = \frac{22}{7} \times 7 \times 7 = 154 \, cm^2$
आयत पर गिरने वाली गेंद के वृत्त पर गिरने की प्रायिकता,वृत्त के क्षेत्रफल और आयत के क्षेत्रफल के अनुपात द्वारा दी जाती है।
अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{\text{वृत्त का क्षेत्रफल}}{\text{आयत का क्षेत्रफल}}$
$= \frac{154}{616} = \frac{1}{4}$
अतः,प्रायिकता $\frac{1}{4}$ है।

(B) जब दो पासे फेंके जाते हैं,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
हमें वह प्रायिकता ज्ञात करनी है कि दोनों पासों पर संख्याओं का योग $S$ का मान $5$ और $9$ के बीच हो,जिसका अर्थ है $5 < S < 9$।
इसका तात्पर्य है कि योग $S$ का मान $6, 7,$ या $8$ हो सकता है।
- $S = 6$ के लिए,संभावित परिणाम $(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)$ हैं,जो कुल $5$ परिणाम हैं।
- $S = 7$ के लिए,संभावित परिणाम $(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)$ हैं,जो कुल $6$ परिणाम हैं।
- $S = 8$ के लिए,संभावित परिणाम $(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)$ हैं,जो कुल $5$ परिणाम हैं।
कुल अनुकूल परिणाम = $5 + 6 + 5 = 16$।
प्रायिकता = $\frac{\text{अनुकूल परिणाम}}{\text{कुल परिणाम}} = \frac{16}{36} = \frac{4}{9}$।