Mix Examples - Probability Questions in Gujarati

(A) $(i)$ થેલીમાં રહેલા કુલ દડાની સંખ્યા $= 3 + 5 = 8$ છે.
લાલ દડો પસંદ કરવાની સંભાવનાનું સૂત્ર: $P(\text{લાલ}) = \frac{\text{સાધ્ય પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા}}$.
$P(\text{લાલ}) = \frac{3}{8}$.
$(ii)$ લાલ દડો ન હોય તેની સંભાવના એ લાલ દડો હોવાની સંભાવનાની પૂરક ઘટના છે.
$P(\text{લાલ ન હોય}) = 1 - P(\text{લાલ})$.
$P(\text{લાલ ન હોય}) = 1 - \frac{3}{8} = \frac{8 - 3}{8} = \frac{5}{8}$.

(A) લખોટીઓની કુલ સંખ્યા $= 5 + 8 + 4 = 17$.
$(i)$ લાલ લખોટીઓની સંખ્યા $= 5$.
લાલ લખોટી મળવાની સંભાવના $= \frac{\text{સાધ્ય પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{5}{17}$.
$(ii)$ સફેદ લખોટીઓની સંખ્યા $= 8$.
સફેદ લખોટી મળવાની સંભાવના $= \frac{\text{સાધ્ય પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{8}{17}$.
$(iii)$ લીલી લખોટીઓની સંખ્યા $= 4$.
લીલી લખોટી મળવાની સંભાવના $= \frac{4}{17}$.
લીલી લખોટી ન મળવાની સંભાવના $= 1 - P(\text{લીલી}) = 1 - \frac{4}{17} = \frac{13}{17}$.

(C) $(i)$ બલ્બની કુલ સંખ્યા $= 20$.
ખામીયુક્ત બલ્બની કુલ સંખ્યા $= 4$.
$P(\text{ખામીયુક્ત બલ્બ}) = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}$.
$(ii)$ એક ખામી રહિત બલ્બ પસંદ કર્યા પછી,બાકી રહેલા બલ્બની કુલ સંખ્યા $= 20 - 1 = 19$.
બાકી રહેલા ખામી રહિત બલ્બની સંખ્યા $= (20 - 4) - 1 = 15$.
$P(\text{ખામી રહિત બલ્બ}) = \frac{\text{ખામી રહિત બલ્બની સંખ્યા}}{\text{બાકી રહેલા કુલ બલ્બ}} = \frac{15}{19}$.

(N/A) કુલ તકતીઓની સંખ્યા $= 90$.
$(i)$ $1$ થી $90$ વચ્ચેની બે અંકની સંખ્યાઓ $10, 11, \dots, 90$ છે. કુલ સંખ્યા $90 - 9 = 81$ છે.
$P(\text{બે અંકની સંખ્યા}) = \frac{81}{90} = \frac{9}{10}$.
$(ii)$ $1$ થી $90$ વચ્ચેની પૂર્ણ વર્ગ સંખ્યાઓ $1^2=1, 2^2=4, 3^2=9, 4^2=16, 5^2=25, 6^2=36, 7^2=49, 8^2=64, 9^2=81$ છે. કુલ સંખ્યા $9$ છે.
$P(\text{પૂર્ણ વર્ગ સંખ્યા}) = \frac{9}{90} = \frac{1}{10}$.
$(iii)$ $1$ થી $90$ વચ્ચેની $5$ વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓ $5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90$ છે. કુલ સંખ્યા $18$ છે.
$P(5 \text{ વડે વિભાજ્ય સંખ્યા}) = \frac{18}{90} = \frac{1}{5}$.

(A) $(i)$ $\text{ખોટું}$
જ્યારે બે સિક્કા ઉછાળવામાં આવે છે,ત્યારે શક્ય પરિણામો $(H, H), (H, T), (T, H),$ અને $(T, T)$ છે.
તે જોઈ શકાય છે કે એક છાપ અને એક કાંટો મેળવવાની બે રીતો છે: $(H, T)$ અને $(T, H)$.
તેથી,બે છાપ મેળવવાની સંભાવના $\frac{1}{4}$ છે,બે કાંટા મેળવવાની સંભાવના $\frac{1}{4}$ છે,અને એક છાપ અને એક કાંટો મેળવવાની સંભાવના $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ છે.
આમ,આ દરેક પરિણામ માટે સંભાવના $\frac{1}{3}$ નથી.
$(ii)$ $\text{સાચું}$
જ્યારે એક પાસો ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે શક્ય પરિણામો $1, 2, 3, 4, 5,$ અને $6$ છે. આમાંથી,$1, 3, 5$ એ $\text{એકી}$ સંખ્યાઓ છે અને $2, 4, 6$ એ $\text{બેકી}$ સંખ્યાઓ છે.
કુલ $6$ પરિણામોમાંથી $3$ એકી સંખ્યાઓ હોવાથી,એકી સંખ્યા મેળવવાની સંભાવના $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ છે.

(3) કુલ દડાની સંખ્યા $= 12$.
કાળા દડાની કુલ સંખ્યા $= x$.
કાળો દડો પસંદ કરવાની સંભાવના $P_1 = \frac{x}{12}$ છે.
જો $6$ વધુ કાળા દડા ઉમેરવામાં આવે,તો નવા કુલ દડાની સંખ્યા $= 12 + 6 = 18$.
કાળા દડાની નવી સંખ્યા $= x + 6$.
કાળો દડો પસંદ કરવાની નવી સંભાવના $P_2 = \frac{x+6}{18}$ છે.
પ્રશ્નમાં આપેલી શરત મુજબ,$P_2 = 2 \times P_1$.
તેથી,$\frac{x+6}{18} = 2 \times \frac{x}{12}$.
$\frac{x+6}{18} = \frac{x}{6}$.
બંને બાજુ $18$ વડે ગુણતા,આપણને $x + 6 = 3x$ મળે છે.
$2x = 6$,જેનું સાદું રૂપ આપતા $x = 3$ મળે છે.

(A) પત્તાંની એક જોડમાં કુલ પત્તાંની સંખ્યા = $52$.
ફુલ્લીનો રાજા,રાણી અને ગલ્લો કાઢી નાખ્યા પછી,બાકી રહેલા પત્તાંની સંખ્યા $n(S) = 52 - 3 = 49$ થાય.
$(i)$ ધારો કે $E_1$ એ લાલ (heart) નું પત્તું મળવાની ઘટના છે.
એક જોડમાં કુલ $13$ લાલના પત્તાં હોય છે અને તેમાંથી એક પણ પત્તું કાઢવામાં આવ્યું નથી,તેથી $n(E_1) = 13$.
તેથી,સંભાવના $P(E_1) = \frac{n(E_1)}{n(S)} = \frac{13}{49}$.
$(ii)$ ધારો કે $E_2$ એ રાજા મળવાની ઘટના છે.
એક જોડમાં કુલ $4$ રાજા હોય છે. ફુલ્લીનો રાજા કાઢી નાખવામાં આવ્યો હોવાથી,બાકી રહેલા રાજાની સંખ્યા $n(E_2) = 4 - 1 = 3$ થાય.
તેથી,સંભાવના $P(E_2) = \frac{n(E_2)}{n(S)} = \frac{3}{49}$.

(A) $2$ થી $101$ સુધીની સંખ્યાઓ માટે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 101 - 2 + 1 = 100$ છે.
$(i)$ ધારો કે $E_1$ એ બેકી સંખ્યા ધરાવતું કાર્ડ પસંદ કરવાની ઘટના છે. બેકી સંખ્યાઓ $\{2, 4, 6, \dots, 100\}$ છે.
આ એક સમાંતર શ્રેણી છે જ્યાં $a = 2$,$d = 2$ અને $l = 100$ છે.
સૂત્ર $l = a + (n - 1)d$ નો ઉપયોગ કરતા,$100 = 2 + (n - 1)2$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $98 = 2(n - 1)$,તેથી $n - 1 = 49$,અને $n = 50$.
આમ,$n(E_1) = 50$.
સંભાવના $P(E_1) = \frac{n(E_1)}{n(S)} = \frac{50}{100} = \frac{1}{2}$.
$(ii)$ ધારો કે $E_2$ એ પૂર્ણ વર્ગ સંખ્યા ધરાવતું કાર્ડ પસંદ કરવાની ઘટના છે.
$2$ અને $101$ ની વચ્ચેની પૂર્ણ વર્ગ સંખ્યાઓ $\{4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100\}$ છે.
આ સંખ્યાઓ $\{2^2, 3^2, 4^2, 5^2, 6^2, 7^2, 8^2, 9^2, 10^2\}$ ને અનુરૂપ છે.
આમ,$n(E_2) = 9$.
સંભાવના $P(E_2) = \frac{n(E_2)}{n(S)} = \frac{9}{100}$.

(D) ત્રીજી પેટીમાં કુલ ચિઠ્ઠીઓની સંખ્યા,$n(S) = 25 + 50 = 75$.
આપેલ માહિતી મુજબ:
પેટી $A$ માં $Rs. 1$ લખેલી ચિઠ્ઠીઓની સંખ્યા $= 19$.
પેટી $A$ માં $Rs. 5$ લખેલી ચિઠ્ઠીઓની સંખ્યા $= 25 - 19 = 6$.
પેટી $B$ માં $Rs. 1$ લખેલી ચિઠ્ઠીઓની સંખ્યા $= 45$.
પેટી $B$ માં $Rs. 13$ લખેલી ચિઠ્ઠીઓની સંખ્યા $= 50 - 45 = 5$.
$Rs. 1$ સિવાયની રકમ લખેલી કુલ ચિઠ્ઠીઓની સંખ્યા $= 6 + 5 = 11$.
તેથી,માંગેલ સંભાવના $= \frac{\text{Rs. 1 સિવાયની રકમ લખેલી ચિઠ્ઠીઓની સંખ્યા}}{\text{કુલ ચિઠ્ઠીઓની સંખ્યા}} = \frac{11}{75}$.

(N/A) બલ્બની કુલ સંખ્યા, $n(S) = 24$.
ખામીયુક્ત બલ્બની સંખ્યા $= 6$.
ખામી રહિત (સારા) બલ્બની સંખ્યા $= 24 - 6 = 18$.
ભાગ $1$: બલ્બ ખામીયુક્ત ન હોય તેની સંભાવના:
$P(\text{ખામીયુક્ત નથી}) = \frac{\text{સારા બલ્બની સંખ્યા}}{\text{બલ્બની કુલ સંખ્યા}} = \frac{18}{24} = \frac{3}{4}$.
ભાગ $2$: જો પ્રથમ પસંદ કરેલ બલ્બ ખામીયુક્ત હોય અને તેને પાછો મૂકવામાં ન આવે:
બાકી રહેલા બલ્બની કુલ સંખ્યા $= 24 - 1 = 23$.
બાકી રહેલા ખામીયુક્ત બલ્બની સંખ્યા $= 6 - 1 = 5$.
બીજો બલ્બ ખામીયુક્ત હોય તેની સંભાવના $= \frac{\text{બાકી રહેલા ખામીયુક્ત બલ્બ}}{\text{બાકી રહેલા કુલ બલ્બ}} = \frac{5}{23}$.

(N/A) આપેલ છે,મોબાઈલ ફોનની કુલ સંખ્યા $n(S) = 48$ છે.
$(i)$ ધારો કે $E_{1}$ એ ઘટના છે કે વર્ણિકા મોબાઈલ ફોન ખરીદશે.
વર્ણિકા ત્યારે જ ખરીદે છે જો તે સારો મોબાઈલ હોય.
તેથી,$n(E_{1}) = 42$.
$P(E_{1}) = \frac{n(E_{1})}{n(S)} = \frac{42}{48} = \frac{7}{8}$.
$(ii)$ ધારો કે $E_{2}$ એ ઘટના છે કે વેપારી મોબાઈલ ફોન ખરીદશે.
વેપારી ત્યારે જ ખરીદશે જો તેમાં કોઈ મોટી ખામી ન હોય.
આનો અર્થ એ છે કે વેપારી $42$ સારા ફોન અને $3$ સામાન્ય ખામીવાળા ફોન ખરીદશે.
તેથી,$n(E_{2}) = 42 + 3 = 45$.
$P(E_{2}) = \frac{n(E_{2})}{n(S)} = \frac{45}{48} = \frac{15}{16}$.

(D) જ્યારે બે નિષ્પક્ષ પાસાઓને ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે શક્ય પરિણામોની કુલ સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે. નિદર્શાવકાશ $S$ નીચે મુજબ છે:
$S = \{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)\}$
ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે બે પાસાઓ પરની સંખ્યાઓનો સરવાળો $3$ અથવા $4$ નો ગુણક છે. શક્ય સરવાળા $2$ થી $12$ સુધીના છે. $3$ ના ગુણકો $3, 6, 9, 12$ છે. $4$ ના ગુણકો $4, 8, 12$ છે.
આમ,આપણને સરવાળો $\{3, 4, 6, 8, 9, 12\}$ ગણમાં જોઈએ છે.
સરવાળો $3$ હોય તેવા પરિણામો: $(1,2), (2,1)$
સરવાળો $4$ હોય તેવા પરિણામો: $(1,3), (2,2), (3,1)$
સરવાળો $6$ હોય તેવા પરિણામો: $(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)$
સરવાળો $8$ હોય તેવા પરિણામો: $(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)$
સરવાળો $9$ હોય તેવા પરિણામો: $(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)$
સરવાળો $12$ હોય તેવા પરિણામો: $(6,6)$
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો = $2 + 3 + 5 + 5 + 4 + 1 = 20$.
સંભાવના $P(E) = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{20}{36} = \frac{5}{9}$.

(C) જ્યારે બે નિષ્પક્ષ પાસાઓને ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
શક્ય પરિણામો નીચે મુજબ છે:
$(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6)$
$(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6)$
$(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6)$
$(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6)$
$(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6)$
$(6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)$
ધારો કે $H$ એ ઘટના છે કે બે પાસાઓ પરની સંખ્યાઓનો સરવાળો $18$ નો અવયવ છે. $18$ ના અવયવો $1, 2, 3, 6, 9, 18$ છે. લઘુત્તમ સરવાળો $2$ અને મહત્તમ સરવાળો $12$ હોવાથી,$18$ ના અવયવ હોય તેવા શક્ય સરવાળા $2, 3, 6, 9$ છે.
દરેક સરવાળા માટે સાનુકૂળ પરિણામો:
સરવાળો $= 2: (1,1)$
સરવાળો $= 3: (1,2), (2,1)$
સરવાળો $= 6: (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)$
સરવાળો $= 9: (3,6), (4,5), (5,4), (6,3)$
સાનુકૂળ પરિણામોની કુલ સંખ્યા $= 1 + 2 + 5 + 4 = 12$.
સંભાવના $P(H) = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}$.

(D) લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $=$ લંબાઈ $\times$ પહોળાઈ
$= 28 \, cm \times 22 \, cm = 616 \, cm^2$
વર્તુળ માટે,ત્રિજ્યા $r = 7 \, cm$
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $= \pi r^2 = \frac{22}{7} \times 7 \times 7 = 154 \, cm^2$
લંબચોરસ પર પડતો દડો વર્તુળ પર પડે તેની સંભાવના એ વર્તુળના ક્ષેત્રફળ અને લંબચોરસના ક્ષેત્રફળના ગુણોત્તર દ્વારા મળે છે.
જરૂરી સંભાવના $= \frac{\text{વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ}}{\text{લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ}}$
$= \frac{154}{616} = \frac{1}{4}$
આમ,સંભાવના $\frac{1}{4}$ છે.

(B) જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
આપણે એ સંભાવના શોધવાની છે કે બે પાસા પરના અંકોનો સરવાળો $S$ એ $5$ અને $9$ ની વચ્ચે હોય,એટલે કે $5 < S < 9$.
આનો અર્થ એ છે કે સરવાળો $S$ એ $6, 7,$ અથવા $8$ હોઈ શકે છે.
- $S = 6$ માટે,શક્ય પરિણામો $(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)$ છે,જે કુલ $5$ પરિણામો છે.
- $S = 7$ માટે,શક્ય પરિણામો $(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)$ છે,જે કુલ $6$ પરિણામો છે.
- $S = 8$ માટે,શક્ય પરિણામો $(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)$ છે,જે કુલ $5$ પરિણામો છે.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો = $5 + 6 + 5 = 16$.
સંભાવના = $\frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામો}}{\text{કુલ પરિણામો}} = \frac{16}{36} = \frac{4}{9}$.