Theoretical Probability Questions in Gujarati

(N/A) એક સિક્કાને એકવાર ઉછાળવાના પ્રયોગમાં, શક્ય પરિણામોની કુલ સંખ્યા $2$ છે $-$ છાપ $(H)$ અને કાંટો $(T).$
ધારો કે $E$ એ 'છાપ મળવી' તેવી ઘટના છે. $E$ માટે સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $1$ છે.
તેથી, $P(E) = P(\text{છાપ}) = \frac{\text{E માટે સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{શક્ય તમામ પરિણામોની કુલ સંખ્યા}} = \frac{1}{2}.$
તે જ રીતે, જો $F$ એ 'કાંટો મળવી' તેવી ઘટના હોય, તો $F$ માટે સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $1$ છે.
તેથી, $P(F) = P(\text{કાંટો}) = \frac{1}{2}.$

(N/A) કૃતિકા થેલીમાં જોયા વગર એક દડો બહાર કાઢે છે. બધા દડા સમાન કદના હોવાથી,તે કોઈપણ એક દડો બહાર કાઢે તેની સંભાવના સમાન છે.
ધારો કે $Y$ એ 'બહાર કાઢેલ દડો પીળો છે' તેવી ઘટના છે,$B$ એ 'બહાર કાઢેલ દડો વાદળી છે' તેવી ઘટના છે,અને $R$ એ 'બહાર કાઢેલ દડો લાલ છે' તેવી ઘટના છે.
કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $= 3$.
$(i)$ ઘટના $Y$ માટે સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $= 1$.
તેથી,$P(Y) = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{1}{3}$.
$(ii)$ ઘટના $R$ માટે સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $= 1$.
તેથી,$P(R) = \frac{1}{3}$.
$(iii)$ ઘટના $B$ માટે સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $= 1$.
તેથી,$P(B) = \frac{1}{3}$.

(N/A) $(i)$ અહીં,ધારો કે $E$ એ '$4$ કરતા મોટી સંખ્યા મેળવવાની' ઘટના છે। શક્ય પરિણામોની કુલ સંખ્યા $6$ $(1, 2, 3, 4, 5, 6)$ છે। $E$ માટે સાનુકૂળ પરિણામો $5$ અને $6$ છે। તેથી,$E$ માટે સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $2$ છે।
$P(E) = P(\text{4 કરતા મોટી સંખ્યા}) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
$(ii)$ ધારો કે $F$ એ '$4$ કરતા નાની અથવા $4$ જેટલી સંખ્યા મેળવવાની' ઘટના છે。
શક્ય પરિણામોની કુલ સંખ્યા $6$ છે。
ઘટના $F$ માટે સાનુકૂળ પરિણામો $1, 2, 3, 4$ છે。
તેથી,$F$ માટે સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $4$ છે。
$P(F) = P(\text{4 કરતા નાની અથવા 4 જેટલી સંખ્યા}) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

(A) સારી રીતે ચીપેલા પત્તાં સમાન સંભવિત પરિણામોની ખાતરી આપે છે.
$(i)$ ડેકમાં $4$ એક્કા હોય છે. ધારો કે $E$ એ 'પત્તું એક્કો છે' તેવી ઘટના છે.
$E$ માટે સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $= 4$.
શક્ય પરિણામોની કુલ સંખ્યા $= 52$.
તેથી,$P(E) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$.
$(ii)$ ધારો કે $F$ એ 'ખેંચેલું પત્તું એક્કો નથી' તેવી ઘટના છે.
ઘટના $F$ માટે સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $= 52 - 4 = 48$.
શક્ય પરિણામોની કુલ સંખ્યા $= 52$.
તેથી,$P(F) = \frac{48}{52} = \frac{12}{13}$.

(A) કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $= 40$.
$(i)$ છોકરીઓની સંખ્યા $= 25$.
છોકરી પસંદ કરવાની સંભાવના $= \frac{\text{છોકરીઓની સંખ્યા}}{\text{કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા}} = \frac{25}{40} = \frac{5}{8}$.
$(ii)$ છોકરાઓની સંખ્યા $= 15$.
છોકરો પસંદ કરવાની સંભાવના $= \frac{\text{છોકરાઓની સંખ્યા}}{\text{કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા}} = \frac{15}{40} = \frac{3}{8}$.

(A) લખોટી યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે તેનો અર્થ એ છે કે બધી લખોટીઓ પસંદ થવાની શક્યતા સમાન છે.
શક્ય કુલ પરિણામોની સંખ્યા $= 3 + 2 + 4 = 9$.
ધારો કે $W$ એ 'લખોટી સફેદ છે' તેવી ઘટના છે,$B$ એ 'લખોટી વાદળી છે' તેવી ઘટના છે અને $R$ એ 'લખોટી લાલ છે' તેવી ઘટના છે.
$(i)$ ઘટના $W$ માટે સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $2$ છે.
તેથી,$P(W) = \frac{2}{9}$.
$(ii)$ ઘટના $B$ માટે સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $3$ છે.
તેથી,$P(B) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.
$(iii)$ ઘટના $R$ માટે સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $4$ છે.
તેથી,$P(R) = \frac{4}{9}$.
નોંધો કે $P(W) + P(B) + P(R) = \frac{2}{9} + \frac{3}{9} + \frac{4}{9} = \frac{9}{9} = 1$.

(C) અમે 'છાપ' (head) માટે $H$ અને 'કાંટો' (tail) માટે $T$ લખીએ છીએ. જ્યારે બે સિક્કા એકસાથે ઉછાળવામાં આવે છે,ત્યારે શક્ય પરિણામો $(H, H), (H, T), (T, H), (T, T)$ છે,જે તમામ સમાન રીતે સંભવિત છે.
અહીં $(H, H)$ નો અર્થ છે કે પ્રથમ સિક્કા પર (ધારો કે $Rs. 1$ પર) છાપ અને બીજા સિક્કા પર (ધારો કે $Rs. 2$ પર) છાપ મળે છે. તેવી જ રીતે,$(H, T)$ નો અર્થ છે કે પ્રથમ સિક્કા પર છાપ અને બીજા સિક્કા પર કાંટો મળે છે,અને આ રીતે આગળ.
ઘટના $E$,'ઓછામાં ઓછી એક છાપ' માટે સાનુકૂળ પરિણામો $(H, H), (H, T)$ અને $(T, H)$ છે.
તેથી,$E$ માટે સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $3$ છે.
કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $4$ છે.
તેથી,$P(E) = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{3}{4}$.
એટલે કે,હરપ્રીતને ઓછામાં ઓછી એક છાપ મળે તેની સંભાવના $3/4$ છે.

(1/4) અહીં,શક્ય પરિણામો $0$ અને $2$ ની વચ્ચેની તમામ સંખ્યાઓ છે. આ સંખ્યા રેખા પર $0$ થી $2$ સુધીનો ભાગ છે.
ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે 'સંગીત પ્રથમ અડધી મિનિટની અંદર બંધ થઈ જાય છે'.
$E$ માટે સાનુકૂળ પરિણામો સંખ્યા રેખા પર $0$ થી $\frac{1}{2}$ સુધીના બિંદુઓ છે.
$0$ થી $2$ સુધીનું કુલ અંતર $2$ છે,જ્યારે $E$ માટે સાનુકૂળ અંતર $0$ થી $\frac{1}{2}$ એટલે કે $\frac{1}{2}$ છે.
તમામ પરિણામો સમાન રીતે સંભવિત હોવાથી,આપણે કહી શકીએ કે,$2$ ના કુલ અંતરમાંથી,ઘટના $E$ માટે સાનુકૂળ અંતર $\frac{1}{2}$ છે.
તેથી,$P(E) = \frac{\text{ઘટના } E \text{ માટે સાનુકૂળ અંતર}}{\text{કુલ અંતર જેમાં પરિણામો હોઈ શકે}} = \frac{\frac{1}{2}}{2} = \frac{1}{4}$.

(D) હેલિકોપ્ટર આ વિસ્તારમાં ગમે ત્યાં ક્રેશ થવાની શક્યતા સમાન છે.
લંબચોરસ વિસ્તારનું કુલ ક્ષેત્રફળ $= (9 \times 4.5) \, km^2 = 40.5 \, km^2$.
તળાવ એક લંબચોરસ છે જેની લંબાઈ $= (9 - 6) \, km = 3 \, km$ અને પહોળાઈ $= (4.5 - 2) \, km = 2.5 \, km$ છે.
તળાવનું ક્ષેત્રફળ $= (3 \times 2.5) \, km^2 = 7.5 \, km^2$.
હેલિકોપ્ટર તળાવની અંદર ક્રેશ થયું હોય તેની સંભાવના તળાવના ક્ષેત્રફળ અને કુલ ક્ષેત્રફળના ગુણોત્તર દ્વારા મળે છે.
$P(\text{હેલિકોપ્ટર તળાવમાં ક્રેશ થયું}) = \frac{\text{તળાવનું ક્ષેત્રફળ}}{\text{કુલ ક્ષેત્રફળ}} = \frac{7.5}{40.5} = \frac{75}{405} = \frac{5}{27}$.

(A) કાર્ટનમાં શર્ટની કુલ સંખ્યા $= 100$ છે.
$(i)$ જીમી ફક્ત સારા શર્ટ જ સ્વીકારે છે. સારા શર્ટની સંખ્યા $= 88$ છે.
તેથી,શર્ટ જીમીને સ્વીકાર્ય હોય તેની સંભાવના $= \frac{88}{100} = 0.88$ છે.
$(ii)$ સુજાતા ફક્ત મોટી ખામીવાળા શર્ટને જ નકારે છે. આનો અર્થ એ છે કે તે સારા શર્ટ અને નાની ખામીવાળા શર્ટ સ્વીકારે છે.
સુજાતાને સ્વીકાર્ય હોય તેવા શર્ટની સંખ્યા $= 88 + 8 = 96$ છે.
તેથી,શર્ટ સુજાતાને સ્વીકાર્ય હોય તેની સંભાવના $= \frac{96}{100} = 0.96$ છે.

(N/A) જ્યારે વાદળી પાસો $1$ દર્શાવે છે,ત્યારે રાખોડી પાસો $1, 2, 3, 4, 5, 6$ માંથી કોઈપણ એક સંખ્યા દર્શાવી શકે છે. આ જ વાત ત્યારે પણ સાચી છે જ્યારે વાદળી પાસો $2, 3, 4, 5$ અથવા $6$ દર્શાવે છે. પ્રયોગના શક્ય પરિણામો નીચેના કોષ્ટકમાં આપેલ છે; દરેક ક્રમયુક્ત જોડમાં પ્રથમ સંખ્યા વાદળી પાસા પર આવતી સંખ્યા છે અને બીજી સંખ્યા રાખોડી પાસા પરની સંખ્યા છે.
નોંધો કે જોડ $(1, 4)$ એ $(4, 1)$ થી અલગ છે.
તેથી,શક્ય પરિણામોની કુલ સંખ્યા $= 6 \times 6 = 36$.
$(i)$ ઘટના "બે સંખ્યાઓનો સરવાળો $8$ છે" જે $E$ દ્વારા દર્શાવેલ છે,તેના માટે સાનુકૂળ પરિણામો છે: $(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)$.
એટલે કે,$E$ માટે સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $= 5$.
તેથી,$P(E) = \frac{5}{36}$.
$(ii)$ તમે જોઈ શકો છો તેમ,ઘટના $F$,"બે સંખ્યાઓનો સરવાળો $13$ છે" માટે કોઈ સાનુકૂળ પરિણામ નથી.
તેથી,$P(F) = \frac{0}{36} = 0$.
$(iii)$ તમે જોઈ શકો છો તેમ,તમામ પરિણામો ઘટના $G$,"બે સંખ્યાઓનો સરવાળો $\leq 12$ છે" માટે સાનુકૂળ છે.
તેથી,$P(G) = \frac{36}{36} = 1$.

(N/A) $(i)$ પ્રયોગની તમામ પ્રાથમિક ઘટનાઓની સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થાય છે.
$(ii)$ ઘટના $E$ ની સંભાવના એવી હોય છે કે $0 \le P(E) \le 1$. તેથી,ઘટનાની સંભાવના $0$ થી મોટી અથવા તેના જેટલી અને $1$ થી નાની અથવા તેના જેટલી હોય છે.

(III, IV) $(i)$ આ સમસંભાવી ઘટના નથી કારણ કે પરિણામ કારની યાંત્રિક સ્થિતિ પર આધાર રાખે છે. કાર ચાલુ થવાની સંભાવના અને ચાલુ ન થવાની સંભાવના સમાન હોવી જરૂરી નથી.
$(ii)$ આ સમસંભાવી ઘટના નથી કારણ કે પરિણામ ખેલાડીની કુશળતા અને પ્રેક્ટિસ પર આધાર રાખે છે,જે દરેક પ્રયાસ માટે સમાન હોતા નથી.
$(iii)$ આ એક સમસંભાવી ઘટના છે કારણ કે અહીં માત્ર બે જ શક્ય પરિણામો છે (સાચું અથવા ખોટું),અને કોઈ પૂર્વ જ્ઞાન ન હોય તો,દરેકની થવાની તક સમાન છે.
$(iv)$ આ એક સમસંભાવી ઘટના છે કારણ કે બાળક છોકરો કે છોકરી હોવાની જૈવિક સંભાવના $50\%$ ગણવામાં આવે છે,જેમાં અન્ય કોઈ બાહ્ય પરિબળોની અસર હોતી નથી.

(B) જ્યારે આપણે સિક્કો ઉછાળીએ છીએ,ત્યારે શક્ય પરિણામો માત્ર બે જ હોય છે,છાપ (Head) અથવા કાંટો (Tail),જે સમાન રીતે સંભવિત પરિણામો છે.
છાપ આવવાની સંભાવના $1/2$ છે અને કાંટો આવવાની સંભાવના પણ $1/2$ હોવાથી,વ્યક્તિગત ઉછાળનું પરિણામ સંપૂર્ણપણે અણધાર્યું અને નિષ્પક્ષ હોય છે.
તેથી,કઈ ટીમને બોલ મળશે તે નક્કી કરવા માટે સિક્કો ઉછાળવો એ એક યોગ્ય રીત માનવામાં આવે છે.

(D) કોઈપણ ઘટના $E$ ની સંભાવના $P(E)$ હંમેશા $0 \le P(E) \le 1$ ની વચ્ચે હોય છે.
આનો અર્થ એ છે કે ઘટનાની સંભાવના ક્યારેય ઋણ હોઈ શકે નહીં અને $1$ થી વધુ હોઈ શકે નહીં.
આપેલા વિકલ્પોની સરખામણી કરતા:
$(A)$ $2/3 \approx 0.66$,જે $0$ અને $1$ ની વચ્ચે છે.
$(B)$ $0.7$ એ $0$ અને $1$ ની વચ્ચે છે.
$(C)$ $15 \% = 0.15$,જે $0$ અને $1$ ની વચ્ચે છે.
$(D)$ $-1.5$ એ $0$ કરતા નાની સંખ્યા છે.
તેથી,$-1.5$ એ કોઈ ઘટનાની સંભાવના હોઈ શકે નહીં.

(A) $(i)$ થેલીમાં માત્ર લીંબુના સ્વાદની જ કેન્ડી છે. તેમાં નારંગીના સ્વાદની કોઈ કેન્ડી નથી. આનો અર્થ એ છે કે દરેક વખતે તે માત્ર લીંબુના સ્વાદની કેન્ડી જ બહાર કાઢશે. તેથી,માલિની નારંગીના સ્વાદની કેન્ડી બહાર કાઢે તે ઘટના અશક્ય ઘટના છે.
તેથી,$P(\text{નારંગીના સ્વાદની કેન્ડી}) = 0$.
$(ii)$ થેલીમાં લીંબુના સ્વાદની કેન્ડી હોવાથી,માલિની માત્ર લીંબુના સ્વાદની કેન્ડી જ બહાર કાઢશે. તેથી,માલિની લીંબુના સ્વાદની કેન્ડી બહાર કાઢે તે ઘટના ચોક્કસ ઘટના છે.
તેથી,$P(\text{લીંબુના સ્વાદની કેન્ડી}) = 1$.

(A) પિગી બેંકમાં કુલ સિક્કાઓની સંખ્યા $= 100 + 50 + 20 + 10 = 180$.
$(i)$ $50\, p$ ના સિક્કાઓની સંખ્યા $= 100$.
$50\, p$ નો સિક્કો મળવાની સંભાવના $= \frac{\text{સાધ્ય પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{100}{180} = \frac{5}{9}$.
$(ii)$ $Rs.\, 5$ ના સિક્કાઓની સંખ્યા $= 10$.
$Rs.\, 5$ નો સિક્કો મળવાની સંભાવના $= \frac{10}{180} = \frac{1}{18}$.
$Rs.\, 5$ નો સિક્કો ન મળવાની સંભાવના $= 1 - P(Rs.\, 5 \text{ નો સિક્કો મળવાની સંભાવના}) = 1 - \frac{1}{18} = \frac{17}{18}$.

(C) ટાંકીમાં માછલીઓની કુલ સંખ્યા $=$ નર માછલીઓની સંખ્યા $+$ માદા માછલીઓની સંખ્યા
$= 5 + 8 = 13$
નર માછલી મળવાની સંભાવના $= \frac{\text{સાધ્ય પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા}}$
$= \frac{5}{13}$

(N/A) કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $8$ છે (એટલે કે,$1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$).
$(i)$ $8$ મેળવવા માટે સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $1$ છે.
સંભાવના $= \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{1}{8}$.
$(ii)$ એકી સંખ્યાઓ $1, 3, 5, 7$ છે. સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $4$ છે.
સંભાવના $= \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.
$(iii)$ $2$ કરતા મોટી સંખ્યાઓ $3, 4, 5, 6, 7, 8$ છે. સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $6$ છે.
સંભાવના $= \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.
$(iv)$ બધી જ સંખ્યાઓ $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$ એ $9$ કરતા નાની છે. સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $8$ છે.
સંભાવના $= \frac{8}{8} = 1$.

(N/A) જ્યારે એક સમતોલ પાસાને ફેંકવામાં આવે ત્યારે શક્ય તમામ પરિણામોનો ગણ $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ છે.
શક્ય કુલ પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 6$ છે.
$(i)$ પાસા પરની અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ $\{2, 3, 5\}$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $3$ છે.
સંભાવના $P(\text{અવિભાજ્ય}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ થાય.
$(ii)$ $2$ અને $6$ ની વચ્ચેની સંખ્યાઓ $\{3, 4, 5\}$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $3$ છે.
સંભાવના $P(2 \text{ અને } 6 \text{ વચ્ચેની સંખ્યા}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ થાય.
$(iii)$ પાસા પરની એકી સંખ્યાઓ $\{1, 3, 5\}$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $3$ છે.
સંભાવના $P(\text{એકી સંખ્યા}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ થાય.

(A-D) સારી રીતે ચીપેલા પત્તાંના ડેકમાં કુલ પત્તાંની સંખ્યા $= 52$.
$(i)$ લાલ રંગના રાજાની કુલ સંખ્યા $= 2$ (લાલનો રાજા અને ચોકટનો રાજા).
$P(\text{લાલ રંગનો રાજા}) = \frac{2}{52} = \frac{1}{26}$.
$(ii)$ મુખમુદ્રાવાળા પત્તાંની (રાજા,રાણી અને ગલ્લા) કુલ સંખ્યા $= 3 \times 4 = 12$.
$P(\text{મુખમુદ્રાવાળું પત્તું}) = \frac{12}{52} = \frac{3}{13}$.
$(iii)$ લાલ રંગના મુખમુદ્રાવાળા પત્તાંની (લાલ અને ચોકટ) કુલ સંખ્યા $= 3 + 3 = 6$.
$P(\text{લાલ રંગનું મુખમુદ્રાવાળું પત્તું}) = \frac{6}{52} = \frac{3}{26}$.
$(iv)$ લાલના ગલ્લાની કુલ સંખ્યા $= 1$.
$P(\text{લાલનો ગલ્લો}) = \frac{1}{52}$.
$(v)$ કાળીના પત્તાંની કુલ સંખ્યા $= 13$.
$P(\text{કાળીનું પત્તું}) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$.
$(vi)$ ચોકટની રાણીની કુલ સંખ્યા $= 1$.
$P(\text{ચોકટની રાણી}) = \frac{1}{52}$.

(A) $(i)$ કુલ પત્તાની સંખ્યા $= 5$.
રાણીની કુલ સંખ્યા $= 1$.
$P(\text{રાણી મળે}) = \frac{\text{સાધ્ય પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{1}{5}$.
$(ii)$ જ્યારે રાણીને બહાર કાઢીને બાજુ પર મૂકવામાં આવે,ત્યારે બાકી રહેલા કુલ પત્તાની સંખ્યા $4$ થશે。
$(a)$ એક્કાની કુલ સંખ્યા $= 1$.
$P(\text{એક્કો મળે}) = \frac{1}{4}$.
$(b)$ રાણી પહેલેથી જ બહાર કાઢી લેવામાં આવી હોવાથી,બાકી રહેલી રાણીની સંખ્યા $0$ છે。
$P(\text{રાણી મળે}) = \frac{0}{4} = 0$.

(A) પેનની કુલ સંખ્યા $= 12 + 132 = 144$.
સારી પેનની કુલ સંખ્યા $= 132$.
કોઈપણ ઘટનાની સંભાવના $P$ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$P(\text{ઘટના}) = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા}}$.
તેથી, સારી પેન મળે તેની સંભાવના:
$P(\text{સારી પેન}) = \frac{132}{144}$.
અંશ અને છેદ બંનેને $12$ વડે ભાગતા, આપણને મળે છે:
$P(\text{સારી પેન}) = \frac{11}{12}$.

(N/A) પાસા પરના કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6$ છે (કારણ કે $6$ ફલક છે).
$(i)$ $A$ અક્ષર ધરાવતા ફલકની સંખ્યા $2$ છે.
તેથી,$A$ મળવાની સંભાવના $P(A) = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ છે.
(ii) $D$ અક્ષર ધરાવતા ફલકની સંખ્યા $1$ છે.
તેથી,$D$ મળવાની સંભાવના $P(D) = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{1}{6}$ છે.

(N/A) લંબચોરસ પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $= \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} = 3 \, m \times 2 \, m = 6 \, m^2$ છે.
વર્તુળનો વ્યાસ $1 \, m$ છે, તેથી તેની ત્રિજ્યા $r = \frac{1}{2} \, m$ થાય.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $= \pi r^2 = \pi \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{\pi}{4} \, m^2$ થાય.
પાસો વર્તુળની અંદર પડે તેની સંભાવના એ વર્તુળના ક્ષેત્રફળ અને લંબચોરસના કુલ ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર છે:
$P(\text{વર્તુળની અંદર પડવાની સંભાવના}) = \frac{\text{વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ}}{\text{લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ}} = \frac{\frac{\pi}{4}}{6} = \frac{\pi}{24}$.

(A) પેનની કુલ સંખ્યા $= 144$
ખામીયુક્ત પેનની કુલ સંખ્યા $= 20$
સારી પેનની કુલ સંખ્યા $= 144 - 20 = 124$
$(i)$ સારી પેન મળવાની સંભાવના (નૂરી પેન ખરીદશે) $= \frac{124}{144} = \frac{31}{36}$
$(ii)$ ખામીયુક્ત પેન મળવાની સંભાવના (નૂરી પેન ખરીદશે નહીં) $= \frac{20}{144} = \frac{5}{36}$ અથવા $1 - \frac{31}{36} = \frac{5}{36}$

(N/A) $(i)$ જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે. સરવાળા અને તેમની સંબંધિત સંભાવનાઓની ગણતરી નીચે મુજબ છે:
- સરવાળો $= 2$: $(1,1) \rightarrow \frac{1}{36}$
- સરવાળો $= 3$: $(1,2), (2,1) \rightarrow \frac{2}{36}$
- સરવાળો $= 4$: $(1,3), (3,1), (2,2) \rightarrow \frac{3}{36}$
- સરવાળો $= 5$: $(1,4), (4,1), (2,3), (3,2) \rightarrow \frac{4}{36}$
- સરવાળો $= 6$: $(1,5), (5,1), (2,4), (4,2), (3,3) \rightarrow \frac{5}{36}$
- સરવાળો $= 7$: $(1,6), (6,1), (2,5), (5,2), (3,4), (4,3) \rightarrow \frac{6}{36}$
- સરવાળો $= 8$: $(2,6), (6,2), (3,5), (5,3), (4,4) \rightarrow \frac{5}{36}$
- સરવાળો $= 9$: $(3,6), (6,3), (4,5), (5,4) \rightarrow \frac{4}{36}$
- સરવાળો $= 10$: $(4,6), (6,4), (5,5) \rightarrow \frac{3}{36}$
- સરવાળો $= 11$: $(5,6), (6,5) \rightarrow \frac{2}{36}$
- સરવાળો $= 12$: $(6,6) \rightarrow \frac{1}{36}$
$(ii)$ ના,હું વિદ્યાર્થીની દલીલ સાથે સહમત નથી. પરિણામો $2, 3, \dots, 12$ એ સમાન સંભવિત નથી કારણ કે દરેક સરવાળો મેળવવાની રીતોની સંખ્યા અલગ-અલગ છે. ઉદાહરણ તરીકે,સરવાળો $2$ મેળવવાની માત્ર $1$ રીત છે,પરંતુ સરવાળો $7$ મેળવવાની $6$ રીતો છે.

(A) કુલ $5$ દિવસો છે (મંગળવાર,બુધવાર,ગુરુવાર,શુક્રવાર,શનિવાર). શ્યામ $5$ રીતે દુકાનની મુલાકાત લઈ શકે છે અને એકતા પણ $5$ રીતે મુલાકાત લઈ શકે છે.
તેથી,કુલ પરિણામોની સંખ્યા $= 5 \times 5 = 25$ છે.
$(i)$ તેઓ એક જ દિવસે $5$ રીતે પહોંચી શકે છે: $(T, T), (W, W), (Th, Th), (F, F), (S, S)$.
$P(\text{એક જ દિવસ}) = \frac{5}{25} = \frac{1}{5}$.
$(ii)$ તેઓ ક્રમિક દિવસે $8$ રીતે પહોંચી શકે છે: $(T, W), (W, Th), (Th, F), (F, S), (W, T), (Th, W), (F, Th), (S, F)$.
$P(\text{ક્રમિક દિવસ}) = \frac{8}{25}$.
$(iii)$ $P(\text{અલગ-અલગ દિવસ}) = 1 - P(\text{એક જ દિવસ}) = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$.

(N/A) જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે ત્યારે શક્ય કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
$(i)$ જે પરિણામોમાં સરવાળો બેકી હોય તે છે:
$2, 2, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 6, 6, 6, 6, 8, 8, 8, 8, 12$ (બધી ઘટનાઓ ગણતા).
બેકી સરવાળો હોય તેવા કુલ પરિણામોની સંખ્યા $= 18$.
$P(\text{બેકી સરવાળો}) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$.
$(ii)$ જે પરિણામોમાં સરવાળો $6$ હોય તે છે:
$(3, 3), (3, 3), (3, 3), (3, 3)$ (કોષ્ટક મુજબ).
સરવાળો $6$ હોય તેવા કુલ પરિણામોની સંખ્યા $= 4$.
$P(\text{સરવાળો} 6) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$.
$(iii)$ જે પરિણામોમાં સરવાળો ઓછામાં ઓછો $6$ (એટલે કે $\ge 6$) હોય તે છે:
$6, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 12$.
સરવાળો ઓછામાં ઓછો $6$ હોય તેવા કુલ પરિણામોની સંખ્યા $= 15$.
$P(\text{સરવાળો ઓછામાં ઓછો } 6) = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$.

(C) ધારો કે વાદળી દડાની સંખ્યા $x$ છે.
લાલ દડાની સંખ્યા $= 5$.
કુલ દડાની સંખ્યા $= x + 5$.
લાલ દડો કાઢવાની સંભાવના,$P(\text{Red}) = \frac{5}{x + 5}$.
વાદળી દડો કાઢવાની સંભાવના,$P(\text{Blue}) = \frac{x}{x + 5}$.
પ્રશ્ન મુજબ,વાદળી દડો કાઢવાની સંભાવના લાલ દડો કાઢવાની સંભાવના કરતાં બમણી છે:
$P(\text{Blue}) = 2 \times P(\text{Red})$
$\frac{x}{x + 5} = 2 \times \left( \frac{5}{x + 5} \right)$
અહીં $x + 5 \neq 0$ હોવાથી,બંને બાજુ $(x + 5)$ વડે ગુણતા:
$x = 2 \times 5$
$x = 10$.
તેથી,થેલીમાં વાદળી દડાની સંખ્યા $10$ છે.

(B) કુલ લખોટીઓની સંખ્યા $= 24$.
ધારો કે લીલી લખોટીઓની સંખ્યા $x$ છે.
તેથી,વાદળી લખોટીઓની સંખ્યા $= 24 - x$ થાય.
લીલી લખોટી પસંદ કરવાની સંભાવના $P(\text{Green}) = \frac{\text{લીલી લખોટીઓની સંખ્યા}}{\text{કુલ લખોટીઓની સંખ્યા}} = \frac{x}{24}$ છે.
પ્રશ્નમાં આપેલ શરત મુજબ,$P(\text{Green}) = \frac{2}{3}$.
તેથી,$\frac{x}{24} = \frac{2}{3}$.
બંને બાજુ $24$ વડે ગુણતા,$x = \frac{2}{3} \times 24 = 16$.
આમ,લીલી લખોટીઓની સંખ્યા $16$ છે.
તેથી,વાદળી લખોટીઓની સંખ્યા $= 24 - 16 = 8$ થાય.

(B) જે ઘટના બની શકતી નથી તેને અશક્ય ઘટના કહેવામાં આવે છે.
અશક્ય ઘટનાની સંભાવના હંમેશા $0$ હોય છે.

(C) કોઈપણ ઘટના $E$ ની સંભાવના,જેને $P(E)$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,તે હંમેશા $0 \le P(E) \le 1$ ની શરતનું પાલન કરે છે.
અહીં $17/16 = 1.0625$ છે,જે $1$ કરતા મોટી કિંમત છે,તેથી તે કોઈ ઘટનાની સંભાવના હોઈ શકે નહીં.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) જે ઘટના બનવાની શક્યતા ખૂબ જ ઓછી હોય તેની સંભાવના $0$ ની સૌથી નજીક હોય છે.
આપેલા વિકલ્પોની સરખામણી કરતા:
$0.1 > 0.01 > 0.001 > 0.0001$.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,$0.0001$ એ સૌથી નાની કિંમત છે અને તે $0$ ની સૌથી નજીક છે.

(B) કોઈપણ ઘટના $E$ ની સંભાવના,જેને $P(E)$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,તે હંમેશા $0 \le P(E) \le 1$ ની વચ્ચે હોય છે.
જ્યારે તેને ટકાવારી તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,ત્યારે સંભાવનાની શ્રેણી $0\% \le P(E) \le 100\%$ બને છે.
તેથી,કોઈ ચોક્કસ ઘટનાની સંભાવના,જ્યારે ટકાવારી તરીકે દર્શાવવામાં આવે,ત્યારે તે ક્યારેય $0\%$ કરતા ઓછી હોઈ શકે નહીં.

(C) કોઈપણ ઘટના $A$ ની સંભાવના,જેને $P(A)$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે,તે સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા અને કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યાના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
કારણ કે સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા ક્યારેય ઋણ હોઈ શકતી નથી અને તે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા કરતા વધી શકતી નથી,તેથી $P(A)$ નું મૂલ્ય $0 \leq P(A) \leq 1$ ની શરતનું પાલન કરે છે.

(D) પત્તાના કુલ $52$ પત્તા હોય છે.
મુખમુદ્રાવાળા પત્તા (face cards) એટલે કે રાજા,રાણી અને ગુલામ.
પત્તાના ઢગમાં $4$ પ્રકારના રંગ/ચિહ્ન હોય છે: લાલ (Hearts),ચોકટ (Diamonds),કાળી (Spades) અને ફુલ્લી (Clubs).
લાલ અને ચોકટ એ લાલ રંગના પત્તા છે,જ્યારે કાળી અને ફુલ્લી એ કાળા રંગના પત્તા છે.
દરેક પ્રકારમાં $3$ મુખમુદ્રાવાળા પત્તા હોય છે.
તેથી,લાલ રંગના મુખમુદ્રાવાળા પત્તાની કુલ સંખ્યા $3$ (લાલ) $+ 3$ (ચોકટ) $= 6$ થાય.
સંભાવના શોધવા માટેનું સૂત્ર: સંભાવના $= \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}}$.
સંભાવના $= \frac{6}{52}$.
અપૂર્ણાંકનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $\frac{3}{26}$ મળે છે.

(A) સામાન્ય વર્ષમાં $365$ દિવસ હોય છે,જે $52$ અઠવાડિયા અને $1$ વધારાના દિવસ બરાબર છે.
આ વધારાનો દિવસ અઠવાડિયાના $7$ દિવસોમાંથી કોઈ પણ એક હોઈ શકે છે: રવિવાર,સોમવાર,મંગળવાર,બુધવાર,ગુરુવાર,શુક્રવાર અથવા શનિવાર.
વર્ષમાં $53$ રવિવાર હોય તે માટે,આ વધારાનો દિવસ રવિવાર હોવો જોઈએ.
કુલ $7$ શક્ય પરિણામોમાંથી $1$ સાનુકૂળ પરિણામ (રવિવાર) હોવાથી,સંભાવના $\frac{1}{7}$ થાય છે.

(B) જ્યારે એક પાસો ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6$ છે,જે $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ છે.
પાસા પરની એકી સંખ્યાઓ $\{1, 3, 5\}$ છે.
$3$ કરતા નાની એકી સંખ્યા માત્ર $\{1\}$ છે.
તેથી,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $1$ છે.
ઘટનાની સંભાવનાનું સૂત્ર: $\text{સંભાવના} = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}}$.
માટે,જરૂરી સંભાવના $= \frac{1}{6}$ છે.

(D) અહીં,કુલ ઈંડાની સંખ્યા $= 400$ છે.
ખરાબ ઈંડું મળવાની સંભાવના $= 0.035$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે,$\text{સંભાવના} = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}}$.
તેથી,$\frac{\text{ખરાબ ઈંડાની સંખ્યા}}{400} = 0.035$.
ખરાબ ઈંડાની સંખ્યા $= 0.035 \times 400$.
ખરાબ ઈંડાની સંખ્યા $= 14$ થાય.

(A) આપેલ છે કે,વેચાયેલી કુલ ટિકિટોની સંખ્યા $= 6000$.
ધારો કે તેણે ખરીદેલી ટિકિટોની સંખ્યા $x$ છે.
પ્રથમ ઇનામ જીતવાની સંભાવના એ તેણે ખરીદેલી ટિકિટોની સંખ્યા અને વેચાયેલી કુલ ટિકિટોની સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે.
તેથી,$\frac{x}{6000} = 0.08$.
બંને બાજુ $6000$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે $x = 0.08 \times 6000$.
$x = 480$.
આમ,તેણે $480$ ટિકિટો ખરીદી હતી.

(B) થેલીમાં કુલ ટિકિટોની સંખ્યા $40$ છે,તેથી શક્ય કુલ પરિણામોની સંખ્યા $40$ છે.
$1$ થી $40$ સુધીની સંખ્યાઓમાંથી $5$ ના ગુણકો નીચે મુજબ છે: $5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40$.
આ ટિકિટોની ગણતરી કરતા,આપણને કુલ $8$ ટિકિટો મળે છે.
તેથી,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $8$ છે.
સંભાવનાનું સૂત્ર: $P(E) = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{શક્ય કુલ પરિણામોની સંખ્યા}}$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે: $P(E) = \frac{8}{40} = \frac{1}{5}$.

(C) $1$ થી $100$ વચ્ચેની સંખ્યા પસંદ કરતી વખતે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $100$ છે.
$1$ થી $100$ વચ્ચેની અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ નીચે મુજબ છે: $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97$.
આ સંખ્યાઓને ગણતા,કુલ $25$ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ મળે છે.
ઘટનાની સંભાવના શોધવાનું સૂત્ર: $P(E) = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા}}$.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $\frac{25}{100} = \frac{1}{4}$ છે.

(D) કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $= 23$.
હાઉસ $A, B$ અને $C$ માં વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $= 4 + 8 + 5 = 17$.
હાઉસ $A, B$ કે $C$ માં ન હોય તેવા વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા (એટલે કે હાઉસ $D$ અને $E$ માંથી) $= 23 - 17 = 6$.
વૈકલ્પિક રીતે,હાઉસ $D$ માંથી વિદ્યાર્થીઓ $= 2$,અને હાઉસ $E$ માંથી વિદ્યાર્થીઓ $= 23 - (4 + 8 + 5 + 2) = 23 - 19 = 4$. કુલ $= 2 + 4 = 6$.
પસંદ કરેલ વિદ્યાર્થી હાઉસ $A, B$ કે $C$ માંથી ન હોય તેની સંભાવના $= \frac{\text{સાધ્ય પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{6}{23}$.

(B) આ વિધાન ખોટું છે.
દરેક પરિણામની સંભાવના $\frac{1}{2}$ ત્યારે જ હોય જ્યારે બંને પરિણામો સમસંભાવી (equally likely) હોય.
ઉદાહરણ તરીકે,જો તમે પક્ષપાતી સિક્કો ઉછાળો,તો છાપ કે કાંટો મળવાની સંભાવના જરૂરી નથી કે $\frac{1}{2}$ જ હોય,ભલે ત્યાં માત્ર બે જ શક્ય પરિણામો હોય.

(B) ના,આ વિધાન ખોટું છે કારણ કે પરિણામો સમાન રીતે સંભવિત (equally likely) નથી.
સમર્થન:
ત્રણ બાળકો ધરાવતા કુટુંબ માટે,નિદર્શાવકાશ $S$ માં $2^3 = 8$ સમાન રીતે સંભવિત પરિણામો છે: $S = \{BBB, BBG, BGB, GBB, BGG, GBG, GGB, GGG\}$,જ્યાં $B$ છોકરો અને $G$ છોકરી દર્શાવે છે.
ધારો કે $X$ એ છોકરીઓની સંખ્યા છે. $X$ માટે શક્ય કિંમતો $0, 1, 2, 3$ છે.
- $P(X=0) = P(\{BBB\}) = \frac{1}{8}$
- $P(X=1) = P(\{BBG, BGB, GBB\}) = \frac{3}{8}$
- $P(X=2) = P(\{BGG, GBG, GGB\}) = \frac{3}{8}$
- $P(X=3) = P(\{GGG\}) = \frac{1}{8}$
આમ,સંભાવનાઓ અનુક્રમે $\frac{1}{8}, \frac{3}{8}, \frac{3}{8}, \text{ અને } \frac{1}{8}$ છે,જે $\frac{1}{4}$ જેટલી નથી.

(N/A) ના,પરિણામો સમાન સંભાવના ધરાવતા નથી.
આપેલ આકૃતિમાં,વર્તુળને ત્રણ પ્રદેશો $1, 2$ અને $3$ માં વિભાજિત કરવામાં આવ્યું છે.
પ્રદેશ $3$ એ વર્તુળનો અડધો ભાગ ($180^{\circ}$ જેટલું ક્ષેત્રફળ) રોકે છે,જ્યારે પ્રદેશ $1$ અને $2$ દરેક વર્તુળનો ચોથો ભાગ ($90^{\circ}$ જેટલું ક્ષેત્રફળ) રોકે છે.
જેহেতু પ્રદેશોના ક્ષેત્રફળ સમાન નથી,તેથી તીર દરેક પ્રદેશ પર નિર્દેશ કરે તેની સંભાવના સમાન નથી.
તેથી,પરિણામો $1, 2$ અને $3$ સમાન સંભાવના ધરાવતા નથી.

(B) અપૂર્વ બે પાસાઓને એકવાર ફેંકે છે.
કુલ પરિણામોની સંખ્યા $= 6 \times 6 = 36$.
ગુણાકાર $36$ મળે તે માટે માત્ર એક જ શક્યતા છે $(6, 6)$.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $= 1$.
અપૂર્વ માટે સંભાવના $= \frac{1}{36}$.
પીહુ એક પાસો ફેંકે છે.
કુલ પરિણામોની સંખ્યા $= 6$.
વર્ગ $36$ મળે તે માટે માત્ર એક જ શક્યતા છે,એટલે કે $6$ આવવો જોઈએ $(6^2 = 36)$.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $= 1$.
પીહુ માટે સંભાવના $= \frac{1}{6} = \frac{6}{36}$.
સંભાવનાઓની સરખામણી કરતા,$\frac{6}{36} > \frac{1}{36}$.
તેથી,પીહુ પાસે $36$ મેળવવાની વધુ સારી તક છે.

(A) સિક્કો ઉછાળતી વખતે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $2$ છે (છાપ અને કાંટો).
સિક્કો નિષ્પક્ષ હોવાથી,બંને પરિણામો સમાન રીતે સંભવિત છે.
કોઈ ઘટના $E$ ની સંભાવનાનું સૂત્ર: $P(E) = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા}}$.
છાપ માટે: $P(H) = \frac{1}{2}$.
કાંટા માટે: $P(T) = \frac{1}{2}$.
આમ,દરેક પરિણામની સંભાવના $\frac{1}{2}$ છે કારણ કે તે સમાન રીતે સંભવિત ઘટનાઓ છે.

$(D)$ જ્યારે ત્રણ સિક્કા એકસાથે ઉછાળવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $2^3 = 8$ થાય છે.
આ પરિણામો છે: $(HHH), (HHT), (HTH), (THH), (HTT), (THT), (TTH), (TTT)$.
આ $8$ પરિણામો પૈકી દરેક સમાન સંભવિત છે.
'શૂન્ય છાપ' મળવાની ઘટના માત્ર એક જ પરિણામ સાથે સંકળાયેલી છે: $(TTT)$.
તેથી,શૂન્ય છાપ મળવાની સંભાવના $\frac{1}{8}$ છે.
સંભાવના $\frac{1}{4}$ છે તેવો નિષ્કર્ષ ખોટો છે કારણ કે તે ધારે છે કે ચાર પરિણામો (શૂન્ય છાપ,$1$ છાપ,$2$ છાપ,$3$ છાપ) સમાન સંભવિત છે,જે સાચું નથી.