Theoretical Probability Questions in Gujarati

(N/A) ના,આપણે એવું ન કહી શકીએ કે છાપ મળવાની સંભાવના $1$ છે.
જ્યારે એક નિષ્પક્ષ સિક્કો ઉછાળવામાં આવે છે,ત્યારે બે શક્ય પરિણામો (છાપ અને કાંટો) સમાન રીતે સંભવિત છે.
એક સિક્કાને એકવાર ઉછાળતા છાપ મળવાની સંભાવના $P(\text{Head}) = \frac{1}{2}$ છે.
ભલે સિક્કો સતત $6$ વખત છાપ આપે,દરેક ઉછાળ એ એક સ્વતંત્ર ઘટના છે.
અગાઉના પરિણામોને ધ્યાનમાં લીધા વગર,દરેક વ્યક્તિગત ઉછાળ માટે છાપ મળવાની સંભાવના $\frac{1}{2}$ જ રહે છે.

(N/A) આગામી ઉછાળમાં પરિણામ છાપ (tail) હોઈ શકે અથવા ન પણ હોઈ શકે. આનું કારણ એ છે કે સિક્કો ઉછાળવો એ એક યાદચ્છિક પ્રયોગ છે,જેમાં છાપ (head) અથવા કાંટો (tail) આવવાની શક્યતા સમાન હોય છે. દરેક ઉછાળ એક સ્વતંત્ર ઘટના છે,જેનો અર્થ છે કે અગાઉના ઉછાળોનું પરિણામ આગામી ઉછાળના પરિણામને અસર કરતું નથી. તેથી,આગામી ઉછાળમાં છાપ (tail) મળવાની સંભાવના $1/2$ જ રહે છે.

(N/A) ના,સિક્કાના દરેક ઉછાળાનું પરિણામ એક સ્વતંત્ર ઘટના છે. જ્યારે આપણે નિષ્પક્ષ સિક્કો ઉછાળીએ છીએ,ત્યારે છાપ અથવા કાંટો મળવાની સંભાવના સમાન હોય છે,એટલે કે $P(\text{Head}) = \frac{1}{2}$ અને $P(\text{Tail}) = \frac{1}{2}$. સિક્કાને અગાઉના પરિણામોની કોઈ યાદશક્તિ હોતી નથી,તેથી $4$ થી વખત સિક્કો ઉછાળતી વખતે કાંટો મળવાની સંભાવના $\frac{1}{2}$ જ રહે છે,જે અન્ય કોઈપણ ઉછાળા જેટલી જ છે. તેથી,કાંટો આવવાની શક્યતા વધારે છે તેવી અપેક્ષા રાખવાનું કોઈ કારણ નથી.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $1$ થી $100$ ની વચ્ચે અડધી સંખ્યાઓ બેકી અને અડધી સંખ્યાઓ એકી છે. એટલે કે,$50$ સંખ્યાઓ $(2, 4, 6, 8, \dots, 96, 98, 100)$ બેકી છે અને $50$ સંખ્યાઓ $(1, 3, 5, 7, \dots, 97, 99)$ એકી છે.
કુલ ચિઠ્ઠીઓની સંખ્યા $100$ હોવાથી,બેકી સંખ્યા માટે સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $50$ છે અને એકી સંખ્યા માટે પણ સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $50$ છે.
બેકી સંખ્યા મળવાની સંભાવના $= \frac{\text{બેકી ચિઠ્ઠીઓની સંખ્યા}}{\text{કુલ ચિઠ્ઠીઓની સંખ્યા}} = \frac{50}{100} = \frac{1}{2}$.
એકી સંખ્યા મળવાની સંભાવના $= \frac{\text{એકી ચિઠ્ઠીઓની સંખ્યા}}{\text{કુલ ચિઠ્ઠીઓની સંખ્યા}} = \frac{50}{100} = \frac{1}{2}$.
બંને ઘટનાઓ માટે સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા સમાન હોવાથી,તે સમસંભાવી છે અને દરેકની સંભાવના ખરેખર $\frac{1}{2}$ છે.

(A-D) જ્યારે બે પાસા એકસાથે ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
$(i)$ પાસા પર આવતી સંખ્યાઓનો સરવાળો $7$ હોય. સાનુકૂળ પરિણામો $(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $= 6$.
$\text{સંભાવના} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.
$(ii)$ પાસા પર આવતી સંખ્યાઓનો સરવાળો અવિભાજ્ય સંખ્યા હોય. શક્ય અવિભાજ્ય સરવાળા $2, 3, 5, 7, 11$ છે.
- સરવાળો $= 2: (1, 1) \rightarrow 1$ પરિણામ
- સરવાળો $= 3: (1, 2), (2, 1) \rightarrow 2$ પરિણામો
- સરવાળો $= 5: (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1) \rightarrow 4$ પરિણામો
- સરવાળો $= 7: (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1) \rightarrow 6$ પરિણામો
- સરવાળો $= 11: (5, 6), (6, 5) \rightarrow 2$ પરિણામો
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $= 1 + 2 + 4 + 6 + 2 = 15$.
$\text{સંભાવના} = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$.
$(iii)$ પાસા પર આવતી સંખ્યાઓનો સરવાળો $1$ હોય. બે પાસાનો ન્યૂનતમ સરવાળો $1 + 1 = 2$ હોવાથી,$1$ સરવાળો મેળવવો અશક્ય છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $= 0$.
$\text{સંભાવના} = \frac{0}{36} = 0$.

(N/A) બે પાસાને ફેંકતા મળતા કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
$(i)$ ગુણાકાર $6$ મળે તેવા શક્ય પરિણામો $(1, 6), (2, 3), (3, 2), (6, 1)$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $= 4$.
સંભાવના $= \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$.
$(ii)$ ગુણાકાર $12$ મળે તેવા શક્ય પરિણામો $(2, 6), (3, 4), (4, 3), (6, 2)$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $= 4$.
સંભાવના $= \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$.
$(iii)$ ગુણાકાર $7$ મળે તેવું કોઈ શક્ય પરિણામ નથી,કારણ કે $7$ એ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે અને $1$ થી $6$ સુધીના અંકોના ગુણાકાર દ્વારા તે મેળવી શકાતી નથી.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $= 0$.
સંભાવના $= \frac{0}{36} = 0$.

(C) જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
આપણે એવા પરિણામો શોધવાના છે જેમાં બે સંખ્યાઓનો ગુણાકાર $9$ કરતા ઓછો હોય.
સાનુકૂળ પરિણામો નીચે મુજબ છે:
પ્રથમ પાસા પર $1$ હોય ત્યારે: $(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6)$ (ગુણાકાર: $1, 2, 3, 4, 5, 6$)
પ્રથમ પાસા પર $2$ હોય ત્યારે: $(2,1), (2,2), (2,3), (2,4)$ (ગુણાકાર: $2, 4, 6, 8$)
પ્રથમ પાસા પર $3$ હોય ત્યારે: $(3,1), (3,2)$ (ગુણાકાર: $3, 6$)
પ્રથમ પાસા પર $4$ હોય ત્યારે: $(4,1), (4,2)$ (ગુણાકાર: $4, 8$)
પ્રથમ પાસા પર $5$ હોય ત્યારે: $(5,1)$ (ગુણાકાર: $5$)
પ્રથમ પાસા પર $6$ હોય ત્યારે: $(6,1)$ (ગુણાકાર: $6$)
આમ,કુલ સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $6 + 4 + 2 + 2 + 1 + 1 = 16$ છે.
સંભાવના $= \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{16}{36} = \frac{4}{9}$.

(N/A) કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $= 6 \times 6 = 36$.
$(i)$ ઘટના $E_1$ (સરવાળો $= 2$): પરિણામો $\{(1, 1), (1, 1)\}$ છે. $n(E_1) = 2$. $P(E_1) = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$.
$(ii)$ ઘટના $E_2$ (સરવાળો $= 3$): પરિણામો $\{(1, 2), (1, 2), (2, 1), (2, 1)\}$ છે. $n(E_2) = 4$. $P(E_2) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$.
$(iii)$ ઘટના $E_3$ (સરવાળો $= 4$): પરિણામો $\{(1, 3), (1, 3), (2, 2), (2, 2), (3, 1), (3, 1)\}$ છે. $n(E_3) = 6$. $P(E_3) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.
$(iv)$ ઘટના $E_4$ (સરવાળો $= 5$): પરિણામો $\{(2, 3), (2, 3), (3, 2), (3, 2), (4, 1), (4, 1)\}$ છે. $n(E_4) = 6$. $P(E_4) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.
$(v)$ ઘટના $E_5$ (સરવાળો $= 6$): પરિણામો $\{(3, 3), (3, 3), (4, 2), (4, 2), (5, 1), (5, 1)\}$ છે. $n(E_5) = 6$. $P(E_5) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.
$(vi)$ ઘટના $E_6$ (સરવાળો $= 7$): પરિણામો $\{(4, 3), (4, 3), (5, 2), (5, 2), (6, 1), (6, 1)\}$ છે. $n(E_6) = 6$. $P(E_6) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.
$(vii)$ ઘટના $E_7$ (સરવાળો $= 8$): પરિણામો $\{(5, 3), (5, 3), (6, 2), (6, 2)\}$ છે. $n(E_7) = 4$. $P(E_7) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$.
$(viii)$ ઘટના $E_8$ (સરવાળો $= 9$): પરિણામો $\{(6, 3), (6, 3)\}$ છે. $n(E_8) = 2$. $P(E_8) = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$.

(A) જ્યારે એક સિક્કાને $2$ વાર ઉછાળવામાં આવે ત્યારે શક્ય પરિણામો નીચે મુજબ છે:
$S = \{(H, H), (H, T), (T, H), (T, T)\}$
તેથી,કુલ પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 4$ છે.
ધારો કે $E$ એ વધુમાં વધુ એક છાપ મળે તે ઘટના છે.
આનો અર્થ એ છે કે શૂન્ય છાપ અથવા એક છાપ મળે.
ઘટના $E$ માટે સાનુકૂળ પરિણામો $\{(T, T), (H, T), (T, H)\}$ છે.
તેથી,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(E) = 3$ છે.
ઘટના $E$ ની સંભાવના $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આમ,$P(E) = \frac{3}{4}$.

(B) સિક્કાને $3$ વખત ઉછાળતા મળતો નિદર્શ અવકાશ $S$ નીચે મુજબ છે:
$S = \{(HHH), (HHT), (HTH), (HTT), (THH), (THT), (TTH), (TTT)\}$
કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 8$.
$(i)$ ધારો કે $E_1$ એ બધી છાપ મળે તે ઘટના છે.
$E_1 = \{(HHH)\}$
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(E_1) = 1$.
સંભાવના $P(E_1) = \frac{n(E_1)}{n(S)} = \frac{1}{8}$.
$(ii)$ ધારો કે $E_2$ એ ઓછામાં ઓછી $2$ છાપ મળે તે ઘટના છે.
$E_2 = \{(HHH), (HHT), (HTH), (THH)\}$
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(E_2) = 4$.
સંભાવના $P(E_2) = \frac{n(E_2)}{n(S)} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.

(C) બે પાસાને એકસાથે ફેંકતા મળતા કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 6 \times 6 = 36$ છે.
ધારો કે $E$ એ બંને પાસા પરના અંકોનો તફાવત $2$ હોય તેવી ઘટના છે.
સાનુકૂળ પરિણામો નીચે મુજબ છે:
$E = \{(1, 3), (2, 4), (3, 5), (4, 6), (3, 1), (4, 2), (5, 3), (6, 4)\}$.
તેથી,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(E) = 8$ છે.
ઘટના $E$ ની સંભાવના $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)}$ દ્વારા મળે છે.
$P(E) = \frac{8}{36} = \frac{2}{9}$.

(N/A) થેલીમાં રહેલા કુલ દડાની સંખ્યા $10 + 5 + 7 = 22$ છે.
આમ,કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 22$ છે.
$(i)$ ધારો કે $E_1$ એ લાલ દડો પસંદ થવાની ઘટના છે. લાલ દડાની સંખ્યા $n(E_1) = 10$ છે.
તેથી,સંભાવના $P(E_1) = \frac{n(E_1)}{n(S)} = \frac{10}{22} = \frac{5}{11}$ થાય.
$(ii)$ ધારો કે $E_2$ એ લીલો દડો પસંદ થવાની ઘટના છે. લીલા દડાની સંખ્યા $n(E_2) = 7$ છે.
તેથી,સંભાવના $P(E_2) = \frac{n(E_2)}{n(S)} = \frac{7}{22}$ થાય.
$(iii)$ ધારો કે $E_3$ એ વાદળી દડો ન પસંદ થવાની ઘટના છે. આનો અર્થ એ છે કે કાં તો લાલ અથવા લીલો દડો પસંદ થાય છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(E_3) = 10 + 7 = 17$ છે.
તેથી,સંભાવના $P(E_3) = \frac{n(E_3)}{n(S)} = \frac{17}{22}$ થાય.

(A) $(i)$ ધારો કે $E_1$ એ ફુલ્લીનું પત્તું મેળવવાની ઘટના છે.
બાકી રહેલા કુલ પત્તા $= 52 - 3 = 49$.
બાકી રહેલા ફુલ્લીના પત્તા $= 13 - 3 = 10$.
$\therefore$ સંભાવના $= \frac{10}{49}$.
$(ii)$ ધારો કે $E_2$ એ લાલનો દસો મેળવવાની ઘટના છે.
પત્તાના ઢગમાં લાલનો દસો માત્ર એક જ હોય છે.
$\therefore$ સંભાવના $= \frac{1}{49}$.

(N/A) પત્તાના ઢગમાં કુલ પત્તા = $52$.
ગુલામ = $4$,રાણી = $4$,રાજા = $4$. કુલ કાઢી નાખેલા પત્તા = $4 + 4 + 4 = 12$.
બાકી રહેલા પત્તા $n(S) = 52 - 12 = 40$.
$(i)$ ધારો કે $E_1$ એ $7$ કિંમત ધરાવતું પત્તું મળવાની ઘટના છે. આવા કુલ $4$ પત્તા છે (દરેક પ્રકારના એક).
$P(E_1) = \frac{n(E_1)}{n(S)} = \frac{4}{40} = \frac{1}{10}$.
$(ii)$ ધારો કે $E_2$ એ $7$ થી વધુ કિંમત ધરાવતું પત્તું મળવાની ઘટના છે. શક્ય કિંમતો $8, 9, 10$ છે. કુલ $3$ કિંમતો છે,અને દરેકના $4$ પ્રકાર છે,તેથી $n(E_2) = 3 \times 4 = 12$.
$P(E_2) = \frac{n(E_2)}{n(S)} = \frac{12}{40} = \frac{3}{10}$.
$(iii)$ ધારો કે $E_3$ એ $7$ થી ઓછી કિંમત ધરાવતું પત્તું મળવાની ઘટના છે. શક્ય કિંમતો $1, 2, 3, 4, 5, 6$ છે. કુલ $6$ કિંમતો છે,અને દરેકના $4$ પ્રકાર છે,તેથી $n(E_3) = 6 \times 4 = 24$.
$P(E_3) = \frac{n(E_3)}{n(S)} = \frac{24}{40} = \frac{3}{5}$.

(D) $0$ અને $100$ ની વચ્ચે કુલ પૂર્ણાંકોની સંખ્યા $99$ છે (એટલે કે ${1, 2, 3, \dots, 99}$).
$n(S) = 99$
$(i)$ ધારો કે $E_1$ એ $7$ વડે વિભાજ્ય પૂર્ણાંક પસંદ કરવાની ઘટના છે.
$0$ અને $100$ ની વચ્ચે $7$ ના ગુણકો ${7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98}$ છે.
$n(E_1) = 14$
$P(E_1) = \frac{n(E_1)}{n(S)} = \frac{14}{99}$
$(ii)$ ધારો કે $E_2$ એ $7$ વડે વિભાજ્ય ન હોય તેવો પૂર્ણાંક પસંદ કરવાની ઘટના છે.
$n(E_2) = n(S) - n(E_1) = 99 - 14 = 85$
$P(E_2) = \frac{n(E_2)}{n(S)} = \frac{85}{99}$

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે અંગ્રેજી મૂળાક્ષરોમાં $5$ સ્વર અને $21$ વ્યંજન હોય છે,જે કુલ $26$ અક્ષરો બનાવે છે.
કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 26$ છે.
ધારો કે $E$ એ અંગ્રેજી મૂળાક્ષરોમાંથી વ્યંજન પસંદ કરવાની ઘટના છે.
વ્યંજનોનો સમૂહ ${b, c, d, f, g, h, j, k, l, m, n, p, q, r, s, t, v, w, x, y, z}$ છે.
તેથી,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(E) = 21$ છે.
ઘટનાની સંભાવના $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આમ,જરૂરી સંભાવના $\frac{21}{26}$ છે.

(C) બોક્સમાં કુલ સીલબંધ પરબિડીયાઓની સંખ્યા,$n(S) = 1000$.
રોકડ ઇનામ ધરાવતા પરબિડીયાઓની સંખ્યા $= 10 + 100 + 200 = 310$.
કોઈ રોકડ ઇનામ ન ધરાવતા પરબિડીયાઓની સંખ્યા,$n(E) = 1000 - 310 = 690$.
પરબિડીયામાં કોઈ રોકડ ઇનામ ન હોય તેની સંભાવના $P(E)$ એ સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા અને કુલ પરિણામોની સંખ્યાના ગુણોત્તર દ્વારા મળે છે.
$P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{690}{1000} = 0.69$.

(N/A) કુલ ટુકડાઓની સંખ્યા $= 8 \text{ ત્રિકોણ} + 10 \text{ ચોરસ} = 18$.
$(i)$ ખોવાયેલ ટુકડો ત્રિકોણ હોવાની સંભાવના $= \frac{8}{18} = \frac{4}{9}$.
$(ii)$ ખોવાયેલ ટુકડો ચોરસ હોવાની સંભાવના $= \frac{10}{18} = \frac{5}{9}$.
$(iii)$ વાદળી ચોરસની સંખ્યા $= 6$. ખોવાયેલ ટુકડો વાદળી ચોરસ હોવાની સંભાવના $= \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$.
$(iv)$ લાલ ત્રિકોણની સંખ્યા $= 8 - 3 = 5$. ખોવાયેલ ટુકડો લાલ ત્રિકોણ હોવાની સંભાવના $= \frac{5}{18}$.

(A) સિક્કાને $3$ વાર ઉછાળતા મળતા કુલ શક્ય પરિણામો:
$S = \{(HHH), (TTT), (HTT), (THT), (TTH), (THH), (HTH), (HHT)\}$
$\therefore n(S) = 8$
$(i)$ ધારો કે $E_1$ એ ઘટના છે કે શ્વેતા પ્રવેશ ફી ગુમાવે છે.
આ ત્યારે થાય છે જ્યારે તેને શૂન્ય છાપ મળે (એટલે કે $TTT$).
$E_1 = \{(TTT)\}$,તેથી $n(E_1) = 1$.
$P(E_1) = \frac{n(E_1)}{n(S)} = \frac{1}{8}$.
$(ii)$ ધારો કે $E_2$ એ ઘટના છે કે શ્વેતાને પ્રવેશ ફી કરતા બમણી રકમ મળે છે.
આ ત્યારે થાય છે જ્યારે તેને $3$ છાપ મળે (એટલે કે $HHH$).
$E_2 = \{(HHH)\}$,તેથી $n(E_2) = 1$.
$P(E_2) = \frac{n(E_2)}{n(S)} = \frac{1}{8}$.
$(iii)$ ધારો કે $E_3$ એ ઘટના છે કે શ્વેતાને તેની પ્રવેશ ફી પાછી મળે છે.
આ ત્યારે થાય છે જ્યારે તેને એક અથવા બે છાપ મળે.
$E_3 = \{(HTT), (THT), (TTH), (HHT), (HTH), (THH)\}$,તેથી $n(E_3) = 6$.
$P(E_3) = \frac{n(E_3)}{n(S)} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.

(C) આપેલ છે કે,એક પાસાની છ સપાટીઓ પર ${0, 1, 1, 1, 6, 6}$ અંકિત છે.
કુલ નિદર્શાવકાશ,$n(S) = 6^2 = 36$.
$(i)$ શક્ય સરવાળા બે પાસાઓ પરના અંકોનો સરવાળો કરીને મેળવી શકાય છે:
$0+0=0, 0+1=1, 0+6=6, 1+1=2, 1+6=7, 6+6=12$.
આમ,શક્ય અલગ-અલગ સ્કોર ${0, 1, 2, 6, 7, 12}$ છે. કુલ $6$ શક્ય સ્કોર છે.
$(ii)$ ધારો કે $E$ એ $7$ નો સરવાળો મેળવવાની ઘટના છે.
જે જોડીઓ $(d_1, d_2)$ નો સરવાળો $7$ થાય છે તે નીચે મુજબ છે:
$(1, 6)$ એ $3 \times 2 = 6$ વખત મળે છે.
$(6, 1)$ એ $2 \times 3 = 6$ વખત મળે છે.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $n(E) = 6 + 6 = 12$.
$P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}$.

(A) આપેલ છે કે,થેલીમાં કુલ દડાની સંખ્યા $= 24$ છે.
લાલ દડાની સંખ્યા $= x$,સફેદ દડાની સંખ્યા $= 2x$ અને વાદળી દડાની સંખ્યા $= 3x$ છે.
શરત મુજબ,$x + 2x + 3x = 24$.
$6x = 24$,તેથી $x = 4$.
તેથી,લાલ દડાની સંખ્યા $= 4$,સફેદ દડાની સંખ્યા $= 2 \times 4 = 8$ અને વાદળી દડાની સંખ્યા $= 3 \times 4 = 12$ છે.
કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 24$ છે.
$(i)$ ધારો કે $E_1$ એ લાલ ન હોય તેવો દડો પસંદ કરવાની ઘટના છે. એટલે કે,દડો સફેદ અથવા વાદળી હોઈ શકે છે.
$n(E_1) = \text{સફેદ દડાની સંખ્યા} + \text{વાદળી દડાની સંખ્યા} = 8 + 12 = 20$.
જરૂરી સંભાવના $P(E_1) = \frac{n(E_1)}{n(S)} = \frac{20}{24} = \frac{5}{6}$.
$(ii)$ ધારો કે $E_2$ એ સફેદ દડો પસંદ કરવાની ઘટના છે.
$n(E_2) = \text{સફેદ દડાની સંખ્યા} = 8$.
જરૂરી સંભાવના $P(E_2) = \frac{n(E_2)}{n(S)} = \frac{8}{24} = \frac{1}{3}$.

(A) બોક્સમાં કાર્ડની કુલ સંખ્યા $n(S) = 1000$ છે.
$(i)$ ધારો કે $E_1$ એ ઘટના છે કે પ્રથમ ખેલાડી ઇનામ જીતે છે. આ ત્યારે થાય છે જો ખેલાડી $500$ થી મોટી પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા પસંદ કરે.
$1$ થી $1000$ વચ્ચેની પૂર્ણવર્ગ સંખ્યાઓ $1^2, 2^2, \dots, 31^2 = 961$ છે.
$500$ થી મોટી પૂર્ણવર્ગ સંખ્યાઓ $23^2=529, 24^2=576, 25^2=625, 26^2=676, 27^2=729, 28^2=784, 29^2=841, 30^2=900, 31^2=961$ છે.
આવા કુલ $9$ કાર્ડ છે.
તેથી, $n(E_1) = 9$.
પ્રથમ ખેલાડી જીતે તેની સંભાવના $P(E_1) = \frac{n(E_1)}{n(S)} = \frac{9}{1000} = 0.009$ છે.
$(ii)$ જો પ્રથમ ખેલાડી જીતી ગયો હોય, તો એક કાર્ડ ($500$ થી મોટી પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા) બોક્સમાંથી દૂર કરવામાં આવે છે.
બાકી રહેલા કાર્ડની સંખ્યા $n(S') = 1000 - 1 = 999$ છે.
$500$ થી મોટી બાકી રહેલી પૂર્ણવર્ગ સંખ્યાઓની સંખ્યા $n(E_2) = 9 - 1 = 8$ છે.
જો પ્રથમ ખેલાડી જીતી ગયો હોય, તો બીજા ખેલાડીના જીતવાની સંભાવના $P(E_2|E_1) = \frac{n(E_2)}{n(S')} = \frac{8}{999}$ છે.

(C) એક સમતોલ પાસાને ફેંકવાના પ્રયોગમાં,શક્ય તમામ સમસંભાવી પરિણામો $1, 2, 3, 4, 5$ અને $6$ છે.
ધારો કે ઘટના $A$ એ 'પાસા પર $2$ અંક મળવાની' ઘટના છે. તો,ઘટના $A$ માટે સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા માત્ર $1$ છે.
$\therefore P(A) = \text{P(પાસા પર } 2 \text{ અંક મળવો)}$
$= \frac{\text{ઘટના } A \text{ માટે સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{શક્ય તમામ પરિણામોની સંખ્યા}}$
$= \frac{1}{6}$
આમ,પાસા પર $2$ અંક મળવાની સંભાવના $\frac{1}{6}$ છે.

(D) એક સમતોલ પાસાને એકવાર ફેંકવાના પ્રયોગમાં કુલ છ પ્રાથમિક પરિણામો મળે છે: $1, 2, 3, 4, 5, 6$.
ધારો કે ઘટના $A$ છે: 'પાસા પર મળતી સંખ્યા અવિભાજ્ય સંખ્યા છે'.
અહીં અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ $2, 3, 5$ છે.
આમ,ઘટના $A$ માટે સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $3$ છે.
કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6$ છે.
તેથી,ઘટના $A$ ની સંભાવના $P(A) = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
આમ,પાસા પર અવિભાજ્ય સંખ્યા મળવાની સંભાવના $\frac{1}{2}$ છે.

(A) એક સમતોલ પાસાને એકવાર ફેંકવાના પ્રયોગમાં છ પ્રાથમિક પરિણામો મળે છે: $1, 2, 3, 4, 5, 6$.
ધારો કે ઘટના $A$: 'પાસા પરની સંખ્યા $4$ કરતા મોટી છે.'
ઘટના $A$ માટે સાનુકૂળ પરિણામો $5$ અને $6$ છે.
તેથી,ઘટના $A$ માટે સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $2$ છે.
$\therefore P(A) = P(\text{પાસા પરની સંખ્યા } 4 \text{ \text{કરતા મોટી છે}}) = \frac{\text{ઘટના } A \text{ \text{માટે સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}}{\text{કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા}}$.
$P(A) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
આમ,$4$ કરતા મોટી સંખ્યા મળવાની સંભાવના $\frac{1}{3}$ છે.

(B) એક સમતોલ પાસાને એકવાર ફેંકવાના પ્રયોગમાં છ પ્રાથમિક પરિણામો મળે છે: $1, 2, 3, 4, 5, 6$.
ધારો કે ઘટના $B$: 'પાસા પરની સંખ્યા $4$ કરતા નાની હોય.'
ઘટના $B$ માટે સાનુકૂળ પરિણામો $1, 2$ અને $3$ છે.
તેથી,ઘટના $B$ માટે સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $3$ છે.
તેથી,સંભાવના $P(B)$ નીચે મુજબ મળે:
$P(B) = \frac{B \text{ માટે સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા}}$
$P(B) = \frac{3}{6}$
$P(B) = \frac{1}{2}$
આમ,$4$ કરતા નાની સંખ્યા મળવાની સંભાવના $\frac{1}{2}$ છે.

(C) $52$ પત્તાના સારી રીતે ચીપેલા પેકમાંથી એક પત્તું યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવાના પ્રયોગમાં,
કુલ પ્રાથમિક પરિણામોની સંખ્યા $52$ છે.
ધારો કે ઘટના $A$: "પસંદ કરેલું પત્તું સાત (seven) છે."
ઘટના $A$ માટે સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $4$ છે,કારણ કે પત્તાના પેકમાં કુલ $4$ સાત હોય છે (દરેક પ્રકારના પત્તામાં એક).
તેથી,સંભાવના $P(A)$ એ સાનુકૂળ પરિણામો અને કુલ પરિણામોનો ગુણોત્તર છે:
$P(A) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$.
આમ,પસંદ કરેલું પત્તું સાત હોય તેની સંભાવના $\frac{1}{13}$ છે.

(D) $52$ પત્તાંના સારી રીતે ચીપેલા પેકમાંથી એક પત્તું યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવાના પ્રયોગમાં,કુલ પ્રાથમિક પરિણામોની સંખ્યા $52$ છે.
ધારો કે ઘટના $B$: "પસંદ કરેલું પત્તું કાળીનું છે."
ઘટના $B$ માટે સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $13$ છે,કારણ કે $52$ પત્તાંના પેકમાં કાળીના $13$ પત્તાં હોય છે.
તેથી,સંભાવના $P(B)$ નીચે મુજબ મળે છે:
$P(B) = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$.
આમ,પસંદ કરેલું પત્તું કાળીનું હોય તેની સંભાવના $\frac{1}{4}$ છે.

(A) $52$ પત્તાંના સારી રીતે ચીપેલા પેકમાંથી એક પત્તું યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવાના પ્રયોગમાં,કુલ પ્રાથમિક પરિણામોની સંખ્યા $52$ છે.
ધારો કે ઘટના $C$ એ પસંદ કરેલું પત્તું કાળા રંગનું (black suit) હોય તે છે.
$52$ પત્તાંના પેકમાં બે કાળા રંગના સૂટ હોય છે: કાળી (Spades - $13$ પત્તાં) અને ફુલ્લી (Clubs - $13$ પત્તાં).
તેથી,ઘટના $C$ માટે સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $13 + 13 = 26$ છે.
ઘટના $C$ ની સંભાવના $P(C) = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}}$ દ્વારા મળે છે.
$P(C) = \frac{26}{52} = \frac{1}{2}$.
આમ,પસંદ કરેલું પત્તું કાળા રંગનું હોય તેની સંભાવના $1/2$ છે.

(C) $52$ પત્તાંના સારી રીતે ચીપેલા પેકમાંથી એક પત્તું યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવાના પ્રયોગમાં,કુલ પ્રાથમિક પરિણામોની સંખ્યા $52$ છે.
ધારો કે ઘટના $E$: 'પસંદ કરેલું પત્તું લાલની રાણી છે.'
ઘટના $E$ માટે સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $1$ છે,કારણ કે પત્તાંના પેકમાં લાલની રાણી માત્ર એક જ હોય છે.
ઘટનાની સંભાવનાનું સૂત્ર: $P(E) = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા}}$.
તેથી,$P(E) = \frac{1}{52}$.
આમ,પસંદ કરેલું પત્તું લાલની રાણી હોય તેની સંભાવના $\frac{1}{52}$ છે.

(D) જ્યારે બે નિષ્પક્ષ પાસાઓને ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે. નિદર્શાવકાશ $S$ નીચે મુજબ છે:
$S = \{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)\}$
ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે બે પાસાઓ પરની સંખ્યાઓનો સરવાળો $8$ છે.
ઘટના $A$ માટે સાનુકૂળ પરિણામો $(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(A) = 5$ છે.
ઘટના $A$ ની સંભાવના $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{5}{36}$ દ્વારા મળે છે.

(A) જ્યારે બે નિષ્પક્ષ પાસાઓને ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે નિદર્શાવકાશ $S$ માં તમામ શક્ય ક્રમયુક્ત જોડીઓ $(x, y)$ નો સમાવેશ થાય છે જ્યાં $x, y \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
કુલ પ્રાથમિક પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
નિદર્શાવકાશ નીચે મુજબ છે:
$S = \{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)\}$
ધારો કે $B$ એ ઘટના છે કે બે પાસાઓ પરની સંખ્યાઓનો સરવાળો $4$ છે.
ઘટના $B$ માટે સાનુકૂળ પરિણામો $(1,3), (2,2), (3,1)$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(B) = 3$ છે.
ઘટના $B$ ની સંભાવના $P(B) = \frac{n(B)}{n(S)} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$ દ્વારા મળે છે.

(B) જ્યારે બે નિષ્પક્ષ પાસાઓને ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે. નિદર્શાવકાશ $S$ નીચે મુજબ છે:
$S = \{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)\}$
ધારો કે ઘટના $C$ એ એવી ઘટના છે કે જેમાં બે પાસાઓ પરની સંખ્યાઓનો સરવાળો $9$ કરતા વધારે હોય. આનો અર્થ એ છે કે સરવાળો $10, 11$ અથવા $12$ હોઈ શકે છે.
ઘટના $C$ માટે સાનુકૂળ પરિણામો નીચે મુજબ છે:
સરવાળો $= 10: (4,6), (5,5), (6,4)$
સરવાળો $= 11: (5,6), (6,5)$
સરવાળો $= 12: (6,6)$
આમ,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(C) = 3 + 2 + 1 = 6$ છે.
ઘટના $C$ ની સંભાવના $P(C) = \frac{n(C)}{n(S)} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ દ્વારા મળે છે.

(C) જ્યારે બે નિષ્પક્ષ પાસાઓને ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે નિદર્શાવકાશ $S$ માં $6 \times 6 = 36$ શક્ય પરિણામો હોય છે:
$S = \{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)\}$
કુલ પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 36$.
ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે બે પાસાઓ પરની સંખ્યાઓનો સરવાળો $5$ કરતા નાનો છે.
$5$ કરતા નાનો સરવાળો $2, 3,$ અને $4$ હોઈ શકે છે.
ઘટના $E$ માટે સાનુકૂળ પરિણામો નીચે મુજબ છે:
સરવાળો $= 2: (1,1)$
સરવાળો $= 3: (1,2), (2,1)$
સરવાળો $= 4: (1,3), (2,2), (3,1)$
આમ,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(E) = 1 + 2 + 3 = 6$.
સંભાવના $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.

(A) જ્યારે બે નિષ્પક્ષ પાસાઓને ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે. નિદર્શાવકાશ $S$ નીચે મુજબ છે:
$S = \{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)\}$
આપણે ઈચ્છીએ છીએ કે બે પાસાઓ પરની સંખ્યાઓનો સરવાળો $3$ અને $4$ બંનેનો ગુણક હોય. $3$ અને $4$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ $12$ છે. તેથી,આપણે એવા પરિણામો શોધી રહ્યા છીએ જ્યાં સરવાળો $12$ થાય.
એકમાત્ર પરિણામ જ્યાં સરવાળો $12$ થાય છે તે $(6,6)$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $= 1$.
સંભાવના $P(E) = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{1}{36}$.

(B) જ્યારે બે નિષ્પક્ષ પાસાઓને ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે. નિદર્શાવકાશ $S$ નીચે મુજબ છે:
$S = \{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)\}$
ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે બે પાસાઓ પરની સંખ્યાઓનો સરવાળો અવિભાજ્ય સંખ્યા છે. શક્ય અવિભાજ્ય સરવાળા $2, 3, 5, 7,$ અને $11$ છે.
ઘટના $E$ માટે સાનુકૂળ પરિણામો નીચે મુજબ છે:
સરવાળો $= 2: (1, 1)$
સરવાળો $= 3: (1, 2), (2, 1)$
સરવાળો $= 5: (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)$
સરવાળો $= 7: (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)$
સરવાળો $= 11: (5, 6), (6, 5)$
સાનુકૂળ પરિણામોની કુલ સંખ્યા $= 1 + 2 + 4 + 6 + 2 = 15$.
તેથી,સંભાવના $P(E) = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$.

(D) બે નિષ્પક્ષ પાસાઓને ફેંકવાના પ્રયોગ માટે નિદર્શ અવકાશ $S$ એ તમામ શક્ય ક્રમયુક્ત જોડીઓ $(x, y)$ નો સમૂહ છે જ્યાં $x, y \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ છે.
કુલ $6 \times 6 = 36$ શક્ય પરિણામો છે:
$S = \{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)\}$
ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે બે પાસાઓ પરની સંખ્યાઓનો સરવાળો $13$ થી નાનો છે.
ન્યૂનતમ સરવાળો $1 + 1 = 2$ છે અને મહત્તમ સરવાળો $6 + 6 = 12$ છે.
મહત્તમ શક્ય સરવાળો $12$ હોવાથી,જે હંમેશા $13$ થી નાનો હોય છે,નિદર્શ અવકાશનું દરેક પરિણામ આ શરતનું પાલન કરે છે.
આમ,$E = S$ અને સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $36$ છે.
સંભાવના $P(E) = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{36}{36} = 1$.
તેથી,સંભાવના $1$ છે.

(A) બે નિષ્પક્ષ પાસાઓને ફેંકવાના પ્રયોગમાં તમામ શક્ય પરિણામો નીચે મુજબ છે:
$(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)$
$(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)$
$(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)$
$(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6)$
$(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)$
$(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)$
આમ,કુલ પ્રાથમિક પરિણામોની સંખ્યા $36$ છે.
ધારો કે ઘટના $J$ એ છે: 'બે પાસાઓ પરની સંખ્યાઓનો સરવાળો $2$ કરતા નાનો છે.'
બે પાસાઓ પરની સંખ્યાઓનો લઘુત્તમ સરવાળો $1 + 1 = 2$ છે.
બે પાસાઓ પરની સંખ્યાઓનો સરવાળો હંમેશા $2$ થી $12$ ની વચ્ચે હોય છે,તેથી તે ક્યારેય $2$ કરતા નાનો હોઈ શકે નહીં.
તેથી,ઘટના $J$ એ અશક્ય ઘટના છે.
અશક્ય ઘટનાની સંભાવના $0$ હોય છે.
આમ,$P(J) = 0$.

(B) $20$ બલ્બ ધરાવતા કાર્ટનમાંથી યાદચ્છિક રીતે એક બલ્બ પસંદ કરવાના પ્રયોગમાં કુલ પ્રાથમિક પરિણામોની સંખ્યા $20$ છે.
કાર્ટનમાં કુલ બલ્બની સંખ્યા $= 20$.
કાર્ટનમાં ખામીયુક્ત બલ્બની સંખ્યા $= 4$.
તેથી,કાર્ટનમાં ખામી રહિત (સારા) બલ્બની સંખ્યા $= 20 - 4 = 16$.
ધારો કે ઘટના $A$ એ યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરેલ બલ્બ ખામી રહિત હોય તેવી ઘટના છે.
ઘટના $A$ માટે સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $= 16$.
ઘટના $A$ ની સંભાવના $P(A) = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}}$ દ્વારા મળે છે.
$P(A) = \frac{16}{20} = \frac{4}{5}$.
આમ,યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરેલ બલ્બ ખામી રહિત હોય તેની સંભાવના $\frac{4}{5}$ છે.

(C) પેટીમાં રહેલા દડાઓની કુલ સંખ્યા $= 5 + 8 + 4 = 17$.
તેથી,પેટીમાંથી એક દડો પસંદ કરવાના પ્રયોગમાં કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $= 17$.
ધારો કે ઘટના $A$ એ પસંદ કરેલો દડો લાલ હોય તે ઘટના છે.
પેટીમાં $5$ લાલ દડા છે.
તેથી,ઘટના $A$ માટે સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $= 5$.
કોઈપણ ઘટનાની સંભાવના શોધવાનું સૂત્ર: $P(A) = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા}}$.
આમ,$P(A) = \frac{5}{17}$.

(D) પેટીમાં રહેલા દડાઓની કુલ સંખ્યા $= 5 + 8 + 4 = 17$.
તેથી,પેટીમાંથી એક દડો કાઢવાના પ્રયોગમાં કુલ પ્રાથમિક પરિણામોની સંખ્યા $= 17$.
ધારો કે ઘટના $B$ એ 'કાઢવામાં આવેલ દડો સફેદ છે' તે છે.
પેટીમાં $8$ સફેદ દડા છે.
તેથી,ઘટના $B$ માટે સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $= 8$.
કોઈપણ ઘટનાની સંભાવનાનું સૂત્ર: $P(E) = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા}}$.
આમ,$P(B) = \frac{8}{17}$.

(B) કોઈપણ વર્ષમાં જુલાઈ મહિનામાં $31$ દિવસ હોય છે.
આ $31$ દિવસોમાં $4$ પૂર્ણ અઠવાડિયા અને $3$ વધારાના દિવસો હોય છે.
તેથી,અઠવાડિયાનો દરેક દિવસ ઓછામાં ઓછી $4$ વાર તો આવશે જ.
બાકીના $3$ દિવસો નીચે મુજબની $7$ શક્યતાઓમાંથી કોઈ પણ હોઈ શકે છે:
$1$. (રવિવાર,સોમવાર,મંગળવાર)
$2$. (સોમવાર,મંગળવાર,બુધવાર)
$3$. (મંગળવાર,બુધવાર,ગુરુવાર)
$4$. (બુધવાર,ગુરુવાર,શુક્રવાર)
$5$. (ગુરુવાર,શુક્રવાર,શનિવાર)
$6$. (શુક્રવાર,શનિવાર,રવિવાર)
$7$. (શનિવાર,રવિવાર,સોમવાર)
કુલ પ્રાથમિક પરિણામોની સંખ્યા $= 7$.
જેમાં રવિવાર આવતો હોય તેવા પરિણામો:
$1$. (રવિવાર,સોમવાર,મંગળવાર)
$6$. (શુક્રવાર,શનિવાર,રવિવાર)
$7$. (શનિવાર,રવિવાર,સોમવાર)
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $= 3$.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $= \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{3}{7}$.

(C) લીપ વર્ષમાં $366$ દિવસો હોય છે,જે $52$ પૂર્ણ અઠવાડિયા અને $2$ વધારાના દિવસોને સમાન છે.
$52$ અઠવાડિયામાં $52$ ગુરુવાર પહેલેથી જ આવી જાય છે,તેથી $53$મો ગુરુવાર બાકીના $2$ દિવસો પર આધાર રાખે છે.
આ $2$ દિવસો માટે શક્ય જોડીઓ નીચે મુજબ છે:
(રવિવાર,સોમવાર),(સોમવાર,મંગળવાર),(મંગળવાર,બુધવાર),(બુધવાર,ગુરુવાર),(ગુરુવાર,શુક્રવાર),(શુક્રવાર,શનિવાર),(શનિવાર,રવિવાર).
કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $7$ છે.
જે પરિણામોમાં ગુરુવાર આવે છે તે (બુધવાર,ગુરુવાર) અને (ગુરુવાર,શુક્રવાર) છે.
આમ,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $2$ છે.
સંભાવના = $\frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{2}{7}$.

(A) ત્રણ સંતુલિત સિક્કાઓને એકસાથે ઉછાળવાના પ્રયોગમાં,નિદર્શાવકાશ $S$ નીચે મુજબના પ્રાથમિક પરિણામો ધરાવે છે:
$S = \{(HHH), (HHT), (HTH), (THH), (HTT), (THT), (TTH), (TTT)\}$
જ્યાં $H$ એ છાપ (head) અને $T$ એ કાંટો (tail) દર્શાવે છે.
કુલ પ્રાથમિક પરિણામોની સંખ્યા $= 8$.
ધારો કે ઘટના $A$ એ ઓછામાં ઓછી બે છાપ મળવાની ઘટના છે (એટલે કે $2$ અથવા $3$ છાપ).
ઘટના $A$ માટે સાનુકૂળ પરિણામો છે: $(HHH), (HHT), (HTH), (THH)$.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $= 4$.
ઘટના $A$ ની સંભાવના $P(A) = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}}$.
$P(A) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.
આમ,ઓછામાં ઓછી બે છાપ મળવાની સંભાવના $\frac{1}{2}$ છે.

(B) જ્યારે એક સમતોલ પાસો ફેંકવામાં આવે ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામો $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ છે,તેથી કુલ પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 6$ છે.
ધારો કે $E$ એ પાસા પર બેકી અંક આવવાની ઘટના છે.
પાસા પરના બેકી અંકો $\{2, 4, 6\}$ છે,તેથી સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(E) = 3$ છે.
ઘટના $E$ ની સંભાવના $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ દ્વારા મળે છે.

(C) જ્યારે એક સમતોલ પાસો ફેંકવામાં આવે,ત્યારે નિદર્શાવકાશ $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ મળે છે.
કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 6$ છે.
ધારો કે $E$ એ પાસા પરનો અંક $3$ નો ગુણક હોય તેવી ઘટના છે.
નિદર્શાવકાશમાં $3$ ના ગુણકો $3$ અને $6$ છે.
આમ,સાનુકૂળ પરિણામો $E = \{3, 6\}$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(E) = 2$ છે.
સંભાવના $P(E)$ નું સૂત્ર $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$P(E) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ મળે છે.

(D) જ્યારે એક સમતોલ પાસો ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે શક્ય કુલ પરિણામો $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ છે.
આમ,કુલ પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 6$ છે.
ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે પાસા પરનો અંક $3$ કરતા નાનો હોય.
સાનુકૂળ પરિણામો $E = \{1, 2\}$ છે.
આમ,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(E) = 2$ છે.
સંભાવના $P(E)$ શોધવાનું સૂત્ર $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)}$ છે.
$P(E) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

(A) જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
ધારો કે પરિણામો $(x, y)$ છે જ્યાં $x$ અને $y$ અનુક્રમે પ્રથમ અને બીજા પાસા પરના અંકો છે.
સરવાળો $(x + y)$ બેકી સંખ્યા ત્યારે જ થાય જો:
$1.$ $x$ અને $y$ બંને એકી સંખ્યા હોય: $x$ માટે $3$ વિકલ્પો $(1, 3, 5)$ અને $y$ માટે $3$ વિકલ્પો $(1, 3, 5)$ છે. કુલ પરિણામો = $3 \times 3 = 9$.
$2.$ $x$ અને $y$ બંને બેકી સંખ્યા હોય: $x$ માટે $3$ વિકલ્પો $(2, 4, 6)$ અને $y$ માટે $3$ વિકલ્પો $(2, 4, 6)$ છે. કુલ પરિણામો = $3 \times 3 = 9$.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો = $9 + 9 = 18$.
સંભાવના = $\frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામો}}{\text{કુલ પરિણામો}} = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$.

(B) જ્યારે બે સમતોલ પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
બંને પાસા પરના અંકોનો સરવાળો અયુગ્મ ત્યારે જ થાય જો એક પાસા પર યુગ્મ (બેકી) અંક અને બીજા પાસા પર અયુગ્મ (એકી) અંક હોય.
ધારો કે $E$ એ સરવાળો અયુગ્મ હોવાની ઘટના છે.
(અયુગ્મ,યુગ્મ) માટેના શક્ય પરિણામો: $(1,2), (1,4), (1,6), (3,2), (3,4), (3,6), (5,2), (5,4), (5,6)$ (કુલ $9$ પરિણામો).
(યુગ્મ,અયુગ્મ) માટેના શક્ય પરિણામો: $(2,1), (2,3), (2,5), (4,1), (4,3), (4,5), (6,1), (6,3), (6,5)$ (કુલ $9$ પરિણામો).
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો = $9 + 9 = 18$.
સંભાવના $P(E) = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામો}}{\text{કુલ પરિણામો}} = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$.

(C) જ્યારે બે સમતોલ પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
ધારો કે $S$ એ બંને પાસા પરના અંકોનો સરવાળો છે. $S$ ની શક્ય કિંમતો $2$ થી $12$ સુધીની છે.
આ શ્રેણીમાં $5$ ના ગુણકો $5$ અને $10$ છે.
આપણે એવી જોડીઓ $(d_1, d_2)$ શોધીએ છીએ જેનો સરવાળો આ મુજબ થાય:
$S = 5$ માટે: $(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)$ (કુલ $4$ પરિણામો).
$S = 10$ માટે: $(4, 6), (5, 5), (6, 4)$ (કુલ $3$ પરિણામો).
સાનુકૂળ પરિણામોની કુલ સંખ્યા $4 + 3 = 7$ છે.
તેથી,સંભાવના $P = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામો}}{\text{કુલ પરિણામો}} = \frac{7}{36}$.