Theoretical Probability Questions in Gujarati

(D) સારી રીતે ચીપેલા પત્તાંના પેકમાં કુલ પત્તાંની સંખ્યા $n = 52$ છે.
ચિત્રવાળું પત્તું એટલે કે ગલ્લો,રાણી અથવા રાજા. દરેક પ્રકારના $4$ પત્તાં હોય છે,તેથી કુલ ચિત્રવાળા પત્તાંની સંખ્યા $3 \times 4 = 12$ થાય.
ધારો કે ઘટના $A$ એ પસંદ કરેલું પત્તું ચિત્રવાળું ન હોય તેવી ઘટના છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $m$ એ કુલ પત્તાંમાંથી ચિત્રવાળા પત્તાં બાદ કરતાં મળે છે:
$m = 52 - 12 = 40$.
સંભાવના $P(A)$ એ સાનુકૂળ પરિણામો અને કુલ પરિણામોનો ગુણોત્તર છે:
$P(A) = \frac{m}{n} = \frac{40}{52}$.
અંશ અને છેદને $4$ વડે ભાગતા:
$P(A) = \frac{10}{13}$.

(B) $52$ પત્તાના પ્રમાણિત પેકમાં $4$ પ્રકારના પત્તા હોય છે: લાલ (Hearts),ચોકટ (Diamonds),ફુલ્લી (Clubs) અને કાળી (Spades).
લાલ અને ચોકટ એ લાલ રંગના પત્તા છે,જ્યારે ફુલ્લી અને કાળી એ કાળા રંગના પત્તા છે.
દરેક પ્રકારમાં બરાબર એક એક્કો હોય છે.
તેથી,લાલ રંગના એક્કાની સંખ્યા $2$ છે (એક લાલનો એક્કો અને એક ચોકટનો એક્કો).
કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $52$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $2$ છે.
સંભાવના $= \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{2}{52} = \frac{1}{26}$.

(C) એક સમતોલ પાસાને એક વાર ફેંકતા મળતા પરિણામોની સંખ્યા $6$ છે (જેમ કે $1, 2, 3, 4, 5, 6$).
જ્યારે પાસાને બીજી વાર ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રથમ ફેંકના $6$ પરિણામોમાંથી દરેક પરિણામ બીજી ફેંકના $6$ પરિણામો સાથે જોડાઈ શકે છે.
તેથી,એક સમતોલ પાસાને બે વાર ફેંકવાના પ્રયોગમાં મળતા કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ થાય છે.

(D) જ્યારે એક સમતોલ પાસો ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે શક્ય પરિણામો ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $6$ શક્ય પરિણામો મળે છે.
જ્યારે બે સમતોલ પાસાને એકસાથે ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા દરેક પાસાના પરિણામોનો ગુણાકાર કરીને મેળવવામાં આવે છે.
કુલ પરિણામોની સંખ્યા $= 6 \times 6 = 36$.

(A) જ્યારે બે સમતોલ પાસાઓને એકસાથે ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ થાય છે.
ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે પાસાઓ પરના અંકોનો સરવાળો $2$ થાય.
સરવાળો $2$ મળે તેવું માત્ર એક જ પરિણામ છે: $(1, 1)$.
તેથી,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $m = 1$ છે.
ઘટના $E$ ની સંભાવના શોધવાનું સૂત્ર: $P(E) = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા}}$.
આમ,$P(E) = \frac{1}{36}$.

(C) જ્યારે બે સમતોલ પાસાઓને એકસાથે ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ થાય છે.
ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે બંને પાસાઓ પરના અંકોનો સરવાળો $4$ થાય.
આ ઘટના માટે સાનુકૂળ પરિણામો $(1, 3), (2, 2),$ અને $(3, 1)$ છે.
તેથી,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $m = 3$ છે.
ઘટના $A$ ની સંભાવના શોધવાનું સૂત્ર $P(A) = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}}$ છે.
$P(A) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$.

(B) જ્યારે બે સમતોલ પાસાઓને એકસાથે ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $n = 6 \times 6 = 36$ થાય છે.
પાસાઓ પરના અંકોનો સરવાળો $7$ થાય તેવા સાનુકૂળ પરિણામો નીચે મુજબ છે: $(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)$.
આમ,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $m = 6$ છે.
ઘટનાની સંભાવના શોધવાનું સૂત્ર: $P(E) = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{m}{n}$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે: $P(E) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.

(B) જ્યારે બે સમતોલ પાસાઓને એકસાથે ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ થાય છે.
ઘટના એવી રીતે વ્યાખ્યાયિત છે કે બંને પાસાઓ પરના અંકોનો સરવાળો $11$ થાય.
સરવાળો $11$ મળે તેવા શક્ય પરિણામો $(5, 6)$ અને $(6, 5)$ છે.
આમ,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $m = 2$ છે.
ઘટનાની સંભાવના $P$ એ સાનુકૂળ પરિણામો અને કુલ પરિણામોના ગુણોત્તર દ્વારા મળે છે:
$P = \frac{m}{n} = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$.

(D) બે પાસાઓ પરના અંકોનો મહત્તમ સરવાળો $6 + 6 = 12$ થાય છે.
કારણ કે મહત્તમ શક્ય સરવાળો $12$ છે,તેથી બે પાસા ફેંકતી વખતે $13$ સરવાળો મેળવવો અશક્ય છે.
તેથી,$13$ સરવાળો મેળવવાની ઘટના એ અશક્ય ઘટના છે.
અશક્ય ઘટનાની સંભાવના હંમેશા $0$ હોય છે.
$\therefore$ જરૂરી સંભાવના $= 0$.

(D) જ્યારે એક સમતોલ પાસાને બે વાર ઉછાળવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
બે પ્રયત્નોમાં મળતી સંખ્યાઓનો સરવાળો બેકી હોય જો:
$1$. બંને સંખ્યાઓ બેકી હોય (દા.ત.,દરેક પાસા માટે $2, 4, 6$: $3 \times 3 = 9$ પરિણામો).
$2$. બંને સંખ્યાઓ એકી હોય (દા.ત.,દરેક પાસા માટે $1, 3, 5$: $3 \times 3 = 9$ પરિણામો).
સાનુકૂળ પરિણામોની કુલ સંખ્યા $= 9 + 9 = 18$.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $= \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$.

(C) જ્યારે એક સમતોલ પાસાને બે વાર ઉછાળવામાં આવે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ થાય છે.
પાસા પરની બેકી સંખ્યાઓ $\{2, 4, 6\}$ છે.
બંને વખત બેકી સંખ્યા મળે તે ઘટનાનો અર્થ એ છે કે પરિણામ ક્રમયુક્ત જોડ $(x, y)$ હોવું જોઈએ જ્યાં $x$ અને $y$ બંને $\{2, 4, 6\}$ ગણમાંથી હોય.
સાનુકૂળ પરિણામો છે: $(2, 2), (2, 4), (2, 6), (4, 2), (4, 4), (4, 6), (6, 2), (6, 4), (6, 6)$.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $m = 9$ છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $P = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$ થાય.

(A) જ્યારે એક સમતોલ પાસાને બે વાર ઉછાળવામાં આવે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ થાય છે.
ધારો કે $E$ એ એવી ઘટના છે કે જેમાં બે પ્રયત્નોમાં મળતી સંખ્યાઓનો સરવાળો $10$ થી વધુ હોય.
જે પરિણામોમાં સરવાળો $10$ થી વધુ હોય તેવા પરિણામો $(5, 6)$,$(6, 5)$ અને $(6, 6)$ છે.
આમ,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $m = 3$ છે.
સંભાવના $P(E)$ એ સાનુકૂળ પરિણામો અને કુલ પરિણામોનો ગુણોત્તર છે:
$P(E) = \frac{m}{n} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$.

(D) જ્યારે એક સમતોલ પાસાને બે વાર ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે બે સંખ્યાઓના સરવાળા માટેના શક્ય પરિણામો $1+1=2$ થી લઈને $6+6=12$ સુધીના હોય છે.
મહત્તમ શક્ય સરવાળો $12$ હોવાથી,મળતો કોઈપણ સરવાળો હંમેશા $12$ અથવા $12$ થી ઓછો જ હશે.
આ એક ચોક્કસ ઘટના છે.
ચોક્કસ ઘટનાની સંભાવના હંમેશા $1$ હોય છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $1$ છે.

(C) પેકેટમાં સ્ક્રૂની કુલ સંખ્યા $= n = 400$.
ખામીયુક્ત સ્ક્રૂની સંખ્યા $= 120$.
ખામી રહિત સ્ક્રૂની સંખ્યા $= 400 - 120 = 280$.
ધારો કે $E$ એ ખામી રહિત સ્ક્રૂ પસંદ કરવાની ઘટના છે.
ઘટના $E$ માટે સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $m = 280$ છે.
ખામી રહિત સ્ક્રૂ પસંદ કરવાની સંભાવના $P(E) = \frac{m}{n} = \frac{280}{400}$ દ્વારા મળે છે.
અપૂર્ણાંકનું સાદું રૂપ આપતા,$P(E) = \frac{28}{40} = \frac{7}{10} = 0.7$.

(C) ફૂલદાનીમાં કુલ ગુલાબની સંખ્યા $= 5 + 3 + 2 = 10$ છે.
પીળું ગુલાબ પસંદ કરવા માટેના સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $2$ છે (કારણ કે ફૂલદાનીમાં $2$ પીળા ગુલાબ છે).
કોઈ ઘટનાની સંભાવના શોધવાનું સૂત્ર: $P(E) = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}}$.
તેથી,પીળું ગુલાબ પસંદ કરવાની સંભાવના $= \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$ થાય.

(B) બોક્સમાં રમકડાંની કુલ સંખ્યા $= n = 10$.
ખામીયુક્ત રમકડાંની સંખ્યા $= 3$.
ખામી રહિત રમકડાંની સંખ્યા $= 10 - 3 = 7$.
ગ્રાહક ફક્ત ખામી રહિત રમકડું જ ખરીદે છે.
તેથી,રમકડું ખરીદવામાં આવે તે ઘટના માટે સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $= m = 7$.
કોઈપણ ઘટનાની સંભાવના એ સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા અને કુલ પરિણામોની સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે.
$\text{સંભાવના} = \frac{m}{n} = \frac{7}{10} = 0.7$.

(A) જ્યારે બે પાસાઓને ફેંકવામાં આવે ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ થાય છે.
બે પાસા પરના અંકોનો સરવાળો $2$ થી $12$ ની વચ્ચે હોઈ શકે છે. આ શ્રેણીમાં આવતી અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ $2, 3, 5, 7$ અને $11$ છે.
દરેક અવિભાજ્ય સરવાળા માટે સાનુકૂળ પરિણામો નીચે મુજબ છે:
- સરવાળો $= 2$: $(1, 1)$ [$1$ પરિણામ]
- સરવાળો $= 3$: $(1, 2), (2, 1)$ [$2$ પરિણામો]
- સરવાળો $= 5$: $(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)$ [$4$ પરિણામો]
- સરવાળો $= 7$: $(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)$ [$6$ પરિણામો]
- સરવાળો $= 11$: $(5, 6), (6, 5)$ [$2$ પરિણામો]
કુલ સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $= 1 + 2 + 4 + 6 + 2 = 15$ થાય.
તેથી,માંગેલ સંભાવના $= \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$.

(B) જ્યારે બે પાસાઓને એકસાથે ફેંકવામાં આવે ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ થાય છે.
એક પાસા પરના અવિભાજ્ય અંકો $2, 3$ અને $5$ છે.
ધારો કે ઘટના $E$ એ છે કે બંને પાસાઓ પરના અંકો અવિભાજ્ય હોય. સાનુકૂળ પરિણામો નીચે મુજબ છે:
$(2, 2), (2, 3), (2, 5), (3, 2), (3, 3), (3, 5), (5, 2), (5, 3), (5, 5)$.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $m = 9$ છે.
સંભાવના $P(E) = \frac{m}{n} = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$ થાય.

(A) જ્યારે બે સમતોલ પાસાઓને એકસાથે ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ થાય છે.
બંને પાસાઓ પર સમાન અંક આવે તેવા સાનુકૂળ પરિણામો $(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5)$ અને $(6, 6)$ છે.
આમ,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $m = 6$ છે.
કોઈપણ ઘટનાની સંભાવના એ સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા અને કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે.
તેથી,માંગેલ સંભાવના $= \frac{m}{n} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ થાય.

(B) થેલીમાં ફક્ત નારંગીના સ્વાદની જ કેન્ડી છે.
થેલીમાં રહેલી તમામ કેન્ડી નારંગીના સ્વાદની હોવાથી,નારંગીના સ્વાદની કેન્ડી બહાર કાઢવાની ઘટના એ 'ચોક્કસ ઘટના' છે અને તેની સંભાવના $1$ છે.
થેલીમાં લીંબુના સ્વાદની કોઈ કેન્ડી નથી,તેથી લીંબુના સ્વાદની કેન્ડી બહાર કાઢવાની ઘટના એ 'અશક્ય ઘટના' છે અને તેની સંભાવના $0$ છે.
તેથી,માંગેલી સંભાવનાઓ અનુક્રમે $1$ અને $0$ છે.

(B) અહીં,પેન્ટની કુલ સંખ્યા $= n = 100$ છે.
મનુ ફક્ત તે જ પેન્ટને નકારે છે જેમાં મોટી ખામીઓ હોય છે.
તેથી,મનુ તે પેન્ટને સ્વીકારે છે જે કાં તો સારા છે અથવા જેમાં સામાન્ય ખામીઓ છે.
મનુ પેન્ટ સ્વીકારે તે ઘટના માટે સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $= m = 73 + 12 = 85$ છે.
જરૂરી સંભાવના $= P = \frac{m}{n} = \frac{85}{100} = 0.85$.

(C) ગોળાકાર ડિસ્ક પરના કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $n = 12$ છે (કારણ કે અંકો $1$ થી $12$ છે).
ઘટના એ છે કે તીર $7$ અંક પર આવીને અટકે છે. આવું માત્ર $1$ જ પરિણામ છે, તેથી સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $m = 1$ છે.
કોઈપણ ઘટનાની સંભાવના શોધવાનું સૂત્ર: $P(E) = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા}}$.
તેથી, જરૂરી સંભાવના $P = \frac{m}{n} = \frac{1}{12}$ છે.

(D) જ્યારે એક નિષ્પક્ષ સિક્કાને એક વાર ઉછાળવામાં આવે ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $2$ (છાપ અથવા કાંટો) હોય છે.
સિક્કાને ત્રણ વાર ઉછાળવામાં આવતો હોવાથી,કુલ પરિણામોની સંખ્યા દરેક ઉછાળના પરિણામોનો ગુણાકાર કરીને મેળવી શકાય છે.
તેથી,કુલ પરિણામોની સંખ્યા $= 2 \times 2 \times 2 = 2^3 = 8$ થાય.

(B) જ્યારે એક નિષ્પક્ષ સિક્કાને ત્રણ વાર ઉછાળવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $2^3 = 8$ થાય છે.
આ પરિણામો છે: $HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT$.
આપણે બરાબર બે છાપ મળે તે ઘટના માટે તપાસ કરી રહ્યા છીએ.
સાનુકૂળ પરિણામો છે: $HHT, HTH, THH$.
આમ,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $m = 3$ છે.
કોઈપણ ઘટનાની સંભાવના એ સાનુકૂળ પરિણામો અને કુલ પરિણામોનો ગુણોત્તર છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $= \frac{m}{n} = \frac{3}{8}$ થાય.

(A) જ્યારે એક સિક્કાને ત્રણ વાર ઉછાળવામાં આવે ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $2^3 = 8$ છે.
આ પરિણામો: $HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT$ છે.
આપણે એવી ઘટના શોધી રહ્યા છીએ જેમાં છાપની સંખ્યા કાંટાની સંખ્યા કરતાં વધારે હોય.
સાનુકૂળ પરિણામો નીચે મુજબ છે:
$1$. $HHH$ ($3$ છાપ,$0$ કાંટા)
$2$. $HHT$ ($2$ છાપ,$1$ કાંટો)
$3$. $HTH$ ($2$ છાપ,$1$ કાંટો)
$4$. $THH$ ($2$ છાપ,$1$ કાંટો)
આમ,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $m = 4$ છે.
માગેલ સંભાવના $\frac{m}{n} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ થાય.

(A) જ્યારે ત્રણ નિષ્પક્ષ સિક્કાઓ એકસાથે ઉછાળવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $2^3 = 8$ છે.
નિદર્શાવકાશ $S = \{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\}$ છે.
આપણે વધુમાં વધુ બે છાપ (tails) મળે તેની સંભાવના શોધવાની છે.
'વધુમાં વધુ બે છાપ' એટલે $0, 1,$ અથવા $2$ છાપ મળવી.
માત્ર એક જ પરિણામ $TTT$ (ત્રણ છાપ) આ શરતનું પાલન કરતું નથી.
આમ,સાનુકૂળ પરિણામો ${HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH}$ છે,જેની સંખ્યા $m = 7$ છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $P = \frac{m}{n} = \frac{7}{8}$ છે.

(C) જ્યારે ત્રણ નિષ્પક્ષ સિક્કાઓ એકસાથે ઉછાળવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $2^3 = 8$ છે.
આ પરિણામો છે: $\{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\}$.
આપણે ઓછામાં ઓછી બે છાપ મેળવવાની સંભાવના શોધવાની છે.
સાનુકૂળ પરિણામો તે છે જેમાં બે અથવા ત્રણ છાપ હોય: $\{HHT, HTH, THH, HHH\}$.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $m = 4$ છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $P = \frac{m}{n} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ છે.

(D) જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
બે પાસા પરના અંકોનો ગુણાકાર એકી સંખ્યા ત્યારે જ મળે જો બંને પાસા પરના અંકો એકી હોય. પાસા પરની એકી સંખ્યાઓ ${1, 3, 5}$ છે.
બંને પાસા પર એકી સંખ્યા મળે તેવા પરિણામોની સંખ્યા $3 \times 3 = 9$ છે. આ પરિણામો $(1,1), (1,3), (1,5), (3,1), (3,3), (3,5), (5,1), (5,3), (5,5)$ છે.
બાકીના તમામ કિસ્સાઓમાં ગુણાકાર બેકી સંખ્યા મળે છે. તેથી,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $36 - 9 = 27$ છે.
આમ,ગુણાકાર બેકી સંખ્યા હોય તેની સંભાવના $\frac{27}{36} = \frac{3}{4}$ થાય.

(A) સૂર્ય પૂર્વમાં ઉગે તે ઘટના એક ચોક્કસ ઘટના છે.
$\therefore$ ચોક્કસ ઘટનાની સંભાવના હંમેશા $1$ હોય છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $1$ છે.

(C) $100$ ગુણના પ્રશ્નપત્રમાં,વિદ્યાર્થી $0, 1, 2, \dots, 100$ ગુણ મેળવી શકે છે.
$\therefore$ કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $n = 101$ છે.
ચોક્કસ $100$ ગુણ મેળવવાની ઘટના માટે સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $m = 1$ છે.
$\therefore$ જરૂરી સંભાવના $P = \frac{m}{n} = \frac{1}{101}$ થાય.

(D) એક સંતુલિત પાસાને ફેંકવાના પ્રયોગમાં કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6$ છે.
તેથી,ત્રણ સંતુલિત પાસાઓને એકસાથે ફેંકવાના પ્રયોગમાં કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 \times 6 = 6^3 = 216$ થાય.

(C) બિન-લીપ વર્ષમાં કુલ $365$ દિવસો હોય છે.
$365$ દિવસ $= 52$ અઠવાડિયા અને $1$ વધારાનો દિવસ.
આ $1$ વધારાનો દિવસ નીચેનામાંથી કોઈ પણ એક હોઈ શકે છે: {રવિવાર,સોમવાર,મંગળવાર,બુધવાર,ગુરુવાર,શુક્રવાર,શનિવાર}.
કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $7$ છે.
વર્ષમાં $53$ શનિવાર હોય તે માટે,વધારાનો દિવસ શનિવાર હોવો જોઈએ.
કુલ $7$ શક્ય પરિણામોમાંથી $1$ સાનુકૂળ પરિણામ (શનિવાર) છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $= \frac{1}{7}$ થાય.

(D) લીપ વર્ષમાં કુલ $366$ દિવસો હોય છે.
$366$ દિવસ = $52$ અઠવાડિયા અને $2$ વધારાના દિવસો.
આ $2$ વધારાના દિવસો નીચેનામાંથી કોઈ પણ જોડી હોઈ શકે છે: (રવિવાર,સોમવાર),(સોમવાર,મંગળવાર),(મંગળવાર,બુધવાર),(બુધવાર,ગુરુવાર),(ગુરુવાર,શુક્રવાર),(શુક્રવાર,શનિવાર),(શનિવાર,રવિવાર).
આ $2$ વધારાના દિવસો માટે કુલ $7$ શક્ય પરિણામો છે.
લીપ વર્ષમાં $53$ બુધવાર હોય તે માટે,$2$ વધારાના દિવસોમાંથી એક દિવસ બુધવાર હોવો જોઈએ.
ઉપરની યાદીમાંથી,બુધવાર ધરાવતી જોડીઓ (મંગળવાર,બુધવાર) અને (બુધવાર,ગુરુવાર) છે.
આમ,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $2$ છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના = $\frac{2}{7}$.

(D) બિન-લીપ વર્ષમાં ફેબ્રુઆરી મહિનામાં $28$ દિવસ હોય છે.
$28$ દિવસ એટલે કે બરાબર $4$ અઠવાડિયા ($4 \times 7 = 28$ દિવસ).
અહીં બરાબર $4$ અઠવાડિયા હોવાથી,અઠવાડિયાનો દરેક વાર બરાબર $4$ વખત આવે છે.
તેથી,બિન-લીપ વર્ષના ફેબ્રુઆરી મહિનામાં $5$ ગુરુવાર હોવા અશક્ય છે.
આ એક અશક્ય ઘટના હોવાથી,તેની સંભાવના $0$ થાય છે.

(B) લીપ વર્ષમાં ફેબ્રુઆરી મહિનામાં $29$ દિવસ હોય છે.
$29$ દિવસમાં $4$ પૂર્ણ અઠવાડિયા અને $1$ વધારાનો દિવસ હોય છે.
આ વધારાનો દિવસ અઠવાડિયાના $7$ દિવસોમાંથી કોઈ પણ એક હોઈ શકે છે (સોમવાર,મંગળવાર,બુધવાર,ગુરુવાર,શુક્રવાર,શનિવાર,રવિવાર).
મહિનામાં $5$ શુક્રવાર હોય તે માટે,વધારાનો દિવસ શુક્રવાર હોવો જોઈએ.
અહીં $7$ શક્ય પરિણામોમાંથી $1$ સાનુકૂળ પરિણામ છે,
$\text{જરૂરી સંભાવના} = \frac{1}{7}$.

(D) બોક્સમાં રહેલી કુલ ચિઠ્ઠીઓની સંખ્યા $n = 120$ છે.
$3$ અંકની સંખ્યા $100$ થી $120$ સુધીની હોય છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $m$ એ $100$ થી $120$ સુધીની કુલ સંખ્યાઓ છે,જેની ગણતરી $120 - 100 + 1 = 21$ થાય છે.
$3$ અંકની સંખ્યા પસંદ કરવાની સંભાવના $P$ એ સાનુકૂળ પરિણામો અને કુલ પરિણામોનો ગુણોત્તર છે:
$P = \frac{m}{n} = \frac{21}{120}$.
અંશ અને છેદને $3$ વડે ભાગતા:
$P = \frac{7}{40}$.

(A) અહીં કુલ પરિણામોની સંખ્યા $n = 100$ છે.
$1$ થી $100$ સુધીની સંખ્યાઓમાં $2$ અંકની સંખ્યાઓ $10, 11, 12, \ldots, 99$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $m = 99 - 10 + 1 = 90$ થાય.
તેથી,માંગેલ સંભાવના $P = \frac{m}{n} = \frac{90}{100} = 0.9$ છે.

(A) કોઈપણ ઘટના $E$ ની સંભાવના,જેને $P(E)$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,તે હંમેશા $0 \le P(E) \le 1$ ની વચ્ચે હોય છે. સંભાવનાનું મૂલ્ય આ અંતરાલ સુધી મર્યાદિત હોવાથી,તે ક્યારેય ઋણ હોઈ શકે નહીં.

(D) જ્યારે એક નિષ્પક્ષ સિક્કાને એકવાર ઉછાળવામાં આવે,ત્યારે નિદર્શાવકાશ $S = \{H, T\}$ મળે છે.
એકવાર સિક્કો ઉછાળતા છાપ (tail) મળવાની સંભાવના $P(T) = \frac{1}{2}$ છે.
સિક્કાને ત્રણ વાર ઉછાળવામાં આવતો હોવાથી,આ ઘટનાઓ નિરપેક્ષ છે.
ત્રણેય વાર છાપ (tail) મળે તેની સંભાવના $P(T \cap T \cap T) = P(T) \times P(T) \times P(T)$ થશે.
કિંમતો મૂકતા: $P = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$.

(C) ઓગસ્ટ મહિનામાં કુલ $31$ દિવસ હોય છે.
$31$ દિવસમાં $4$ આખા અઠવાડિયા અને $3$ વધારાના દિવસો હોય છે.
$4 \times 7 = 28$ દિવસ.
$31 - 28 = 3$ વધારાના દિવસો.
આ $3$ ક્રમિક દિવસો માટે શક્યતાઓ નીચે મુજબ છે:
$1$. (સોમવાર,મંગળવાર,બુધવાર)
$2$. (મંગળવાર,બુધવાર,ગુરુવાર)
$3$. (બુધવાર,ગુરુવાર,શુક્રવાર)
$4$. (ગુરુવાર,શુક્રવાર,શનિવાર)
$5$. (શુક્રવાર,શનિવાર,રવિવાર)
$6$. (શનિવાર,રવિવાર,સોમવાર)
$7$. (રવિવાર,સોમવાર,મંગળવાર)
આ $7$ શક્યતાઓમાંથી,સોમવાર આવતો હોય તેવા કિસ્સાઓ:
(સોમવાર,મંગળવાર,બુધવાર),(શનિવાર,રવિવાર,સોમવાર) અને (રવિવાર,સોમવાર,મંગળવાર).
આમ,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $3$ છે.
તેથી,સંભાવના $\frac{3}{7}$ થાય.

(B) એપ્રિલ મહિનામાં કુલ $30$ દિવસ હોય છે.
$30$ દિવસમાં $4$ પૂર્ણ અઠવાડિયા અને $2$ વધારાના દિવસો હોય છે.
$4$ અઠવાડિયામાં $4$ રવિવાર આવી જાય છે.
આ $2$ વધારાના દિવસો નીચે મુજબની જોડીઓ હોઈ શકે છે: (રવિવાર,સોમવાર),(સોમવાર,મંગળવાર),(મંગળવાર,બુધવાર),(બુધવાર,ગુરુવાર),(ગુરુવાર,શુક્રવાર),(શુક્રવાર,શનિવાર),અથવા (શનિવાર,રવિવાર).
આમ,$2$ વધારાના દિવસો માટે કુલ $7$ શક્યતાઓ છે.
મહિનામાં $5$ રવિવાર મેળવવા માટે,વધારાના દિવસોમાંથી એક દિવસ રવિવાર હોવો જોઈએ.
આવી $2$ શક્યતાઓ છે: (રવિવાર,સોમવાર) અને (શનિવાર,રવિવાર).
તેથી,સંભાવના $\frac{2}{7}$ થાય છે.

(C) જ્યારે એક સમતોલ પાસાને ફેંકવામાં આવે ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામો $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ છે,તેથી કુલ પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 6$ છે.
ધારો કે $E$ એ પાસા પરનો અંક $3$ કરતા મોટો હોય તેવી ઘટના છે.
સાનુકૂળ પરિણામો $E = \{4, 5, 6\}$ છે,તેથી સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(E) = 3$ છે.
સંભાવના $P(E)$ નું સૂત્ર $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $P(E) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ મળે છે.

(A) જ્યારે બે સમતોલ પાસાઓને એકસાથે ફેંકવામાં આવે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ થાય છે.
નિદર્શાવકાશ $S$ આ મુજબ છે: $S = \{(1,1), (1,2), \dots, (6,6)\}$.
આપણે એવી ઘટના $E$ શોધી રહ્યા છીએ જેમાં બંને પાસા પરના અંકોનો સરવાળો $12$ થાય.
આ શરતને સંતોષતું એકમાત્ર પરિણામ $(6, 6)$ છે.
તેથી,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(E) = 1$ છે.
સંભાવના $P(E)$ ની ગણતરી આ મુજબ થાય: $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{1}{36}$.

(B) જ્યારે બે સમતોલ પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે પાસા પરના અંકોનો સરવાળો $8$ થાય.
સરવાળો $8$ થાય તેવા શક્ય પરિણામો છે: $(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)$.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $5$ છે.
તેથી,સંભાવના $P(E) = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{5}{36}$.

(B) સારી રીતે ચીપેલા પત્તાંના પેકમાં કુલ પત્તાંની સંખ્યા = $52$ છે.
પત્તાંના પેકમાં બે કાળા રંગના પ્રકાર (suits) હોય છે: ફુલ્લી (Clubs) અને કાળી (Spades).
દરેક પ્રકારમાં બરાબર એક ગલ્લો (Jack) હોય છે.
તેથી,કાળા રંગના ગલ્લાની કુલ સંખ્યા (કાળીનો ગલ્લો અને ફુલ્લીનો ગલ્લો) = $2$ થાય.
કાળા રંગનો ગલ્લો ખેંચવાની સંભાવના એ સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા અને કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે.
સંભાવના = $\frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{2}{52} = \frac{1}{26}$.

(B) કોઈપણ ઘટના $K$ ની સંભાવના,જેને $P(K)$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,તે ઘટના બનવાની શક્યતાનું માપ છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,કોઈપણ ઘટનાની સંભાવના હંમેશા $0$ અને $1$ ની વચ્ચે (બંનેનો સમાવેશ કરીને) હોય છે.
આનો અર્થ એ છે કે ન્યૂનતમ સંભાવના $0$ (અશક્ય ઘટના માટે) અને મહત્તમ સંભાવના $1$ (ચોક્કસ ઘટના માટે) હોઈ શકે છે.
તેથી,ઘટના $K$ ની સંભાવના માટેની શરત $0 \leqslant P(K) \leqslant 1$ છે.

(C) પાસાને ફેંકતા મળતા કુલ પરિણામોનો નિદર્શાવકાશ $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ છે,તેથી કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6$ છે.
$1$ થી $6$ ની વચ્ચેની અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ $2, 3$ અને $5$ છે.
આમ,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $3$ છે.
અવિભાજ્ય સંખ્યા મળવાની સંભાવના એ સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા અને કુલ પરિણામોની સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે.
સંભાવના $= \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

(A) જ્યારે પાસાને ફેંકવામાં આવે ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામો ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$ છે.
કુલ પરિણામોની સંખ્યા $= 6$.
વિભાજ્ય સંખ્યા એ $1$ કરતા મોટી એવી પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે જેને $1$ અને તે સંખ્યા સિવાય પણ ઓછામાં ઓછો એક અવયવ હોય.
ગણ ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$ માં,વિભાજ્ય સંખ્યાઓ $4$ અને $6$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $= 2$.
સંભાવના $= \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.