Theoretical Probability Questions in Gujarati

(D) જ્યારે બે સમતોલ પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
પાસા પરના અંકોનો સરવાળો $2$ થી $12$ ની વચ્ચે હોય છે.
$6$ ના ગુણક હોય તેવા સરવાળા $6$ અને $12$ છે.
સરવાળો $6$ મળે તેવા શક્ય પરિણામો $(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)$ છે. આવા કુલ $5$ પરિણામો છે.
સરવાળો $12$ મળે તેવું શક્ય પરિણામ માત્ર $(6, 6)$ છે. આવું $1$ પરિણામ છે.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો = $5 + 1 = 6$.
સંભાવના = $\frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.

(A) જ્યારે બે સમતોલ પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
આપણે એ સંભાવના શોધવાની છે કે બંને પાસા પરના અંકોનો સરવાળો $8$ કરતા વધારે હોય.
$8$ કરતા વધારે સરવાળો હોય તેવા શક્ય સરવાળા $9, 10, 11$ અને $12$ છે.
આ સરવાળા મેળવવા માટેના પરિણામો નીચે મુજબ છે:
સરવાળો $= 9: (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)$ ($4$ પરિણામો)
સરવાળો $= 10: (4, 6), (5, 5), (6, 4)$ ($3$ પરિણામો)
સરવાળો $= 11: (5, 6), (6, 5)$ ($2$ પરિણામો)
સરવાળો $= 12: (6, 6)$ ($1$ પરિણામ)
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $= 4 + 3 + 2 + 1 = 10$.
સંભાવના $= \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}$.

(B) જ્યારે બે સમતોલ પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
આપણે એ સંભાવના શોધવાની છે કે બંને પાસા પરના અંકોનો સરવાળો $7$ કરતા ઓછો હોય.
જે પરિણામોમાં સરવાળો $7$ કરતા ઓછો હોય તે નીચે મુજબ છે:
સરવાળો $= 2$: $(1, 1)$ ($1$ પરિણામ)
સરવાળો $= 3$: $(1, 2), (2, 1)$ ($2$ પરિણામો)
સરવાળો $= 4$: $(1, 3), (2, 2), (3, 1)$ ($3$ પરિણામો)
સરવાળો $= 5$: $(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)$ ($4$ પરિણામો)
સરવાળો $= 6$: $(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)$ ($5$ પરિણામો)
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$.
સંભાવના $= \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{15}{36}$.
અંશ અને છેદને $3$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{15 \div 3}{36 \div 3} = \frac{5}{12}$ મળે છે.

(C) સારી રીતે ચીપેલા પત્તાંના પેકમાં કુલ પત્તાંની સંખ્યા $52$ છે.
તેથી,શક્ય કુલ પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 52$ છે.
પત્તાંના પ્રમાણિત પેકમાં કુલ $4$ રાણી હોય છે (દરેક પ્રકારના પત્તાં માટે એક: લાલ,ચોકટ,ફુલ્લી અને કાળી).
તેથી,રાણી મળે તેવા સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(E) = 4$ છે.
ઘટના $E$ ની સંભાવના $P(E)$ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$P(E) = \frac{n(E)}{n(S)}$
કિંમતો મૂકતા:
$P(E) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$
આમ,રાણી ખેંચવાની સંભાવના $\frac{1}{13}$ છે.

(D) સારી રીતે ચીપેલા પત્તાના પેકમાં કુલ પત્તાની સંખ્યા $52$ છે.
મુખમુદ્રાવાળા પત્તા (face cards) એટલે એવા પત્તા જેના પર ચહેરા હોય છે,જે રાજા (King),રાણી (Queen) અને ગુલામ (Jack) છે.
દરેક પ્રકારના પત્તામાં $3$ મુખમુદ્રાવાળા પત્તા હોય છે (એક રાજા,એક રાણી અને એક ગુલામ).
પત્તાના પેકમાં $4$ પ્રકાર (લાલ,ચોકટ,ફુલ્લી અને કાળી) હોવાથી,મુખમુદ્રાવાળા પત્તાની કુલ સંખ્યા $4 \times 3 = 12$ થાય.
મુખમુદ્રાવાળું પત્તું ખેંચવાની સંભાવના એ સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા અને કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે.
સંભાવના $P = \frac{\text{મુખમુદ્રાવાળા પત્તાની સંખ્યા}}{\text{કુલ પત્તાની સંખ્યા}} = \frac{12}{52}$.
અંશ અને છેદને $4$ વડે ભાગતા,આપણને $P = \frac{3}{13}$ મળે છે.

(A) સારી રીતે ચીપેલા પત્તાંના પેકમાં કુલ પત્તાંની સંખ્યા $52$ છે.
પત્તાંના પેકમાં $4$ પ્રકારના રંગ/ભાત હોય છે: લાલ (hearts),ચોકટ (diamonds),ફુલ્લી (clubs) અને કાળી (spades).
દરેક પ્રકારમાં $13$ પત્તાં હોય છે.
તેથી,ચોકટના પત્તાંની સંખ્યા $13$ છે.
ચોકટનું પત્તું ખેંચવાની સંભાવના એ સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા અને કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે.
સંભાવના $P = \frac{\text{ચોકટના પત્તાંની સંખ્યા}}{\text{કુલ પત્તાંની સંખ્યા}} = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$.

(B) સારી રીતે ચીપેલા પત્તાંના પેકમાં કુલ પત્તાંની સંખ્યા $n(S) = 52$ છે.
પત્તાંના પેકમાં બે કાળા રંગના પ્રકારો હોય છે: ફુલ્લી અને કાળી.
દરેક પ્રકારમાં બરાબર એક રાજા હોય છે.
તેથી,કાળા રંગના રાજાઓની સંખ્યા $n(E) = 2$ છે (એક કાળીનો રાજા અને એક ફુલ્લીનો રાજા).
કાળા રંગનો રાજા ખેંચવાની સંભાવના $P(E)$ એ સૂત્ર $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $P(E) = \frac{2}{52} = \frac{1}{26}$ મળે છે.

(C) $50$ ગુણની કસોટીમાં,વિદ્યાર્થી મેળવી શકે તેવા શક્ય ગુણ $0$ થી $50$ સુધીના છે.
શક્ય પરિણામોની કુલ સંખ્યા = $50 - 0 + 1 = 51$.
વિદ્યાર્થી $0, 1, 2, \dots, 50$ માંથી કોઈપણ પૂર્ણાંક ગુણ મેળવી શકે છે.
સાનુકૂળ પરિણામો એ $30$ ગુણ અથવા $35$ ગુણ મેળવવાના છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા = $2$ (ચોક્કસપણે $30$ અને $35$ ગુણ).
સંભાવના = $\frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{શક્ય પરિણામોની કુલ સંખ્યા}} = \frac{2}{51}$.

(D) વર્ગમાં વિદ્યાર્થીઓની કુલ સંખ્યા = $35 \text{ (છોકરાઓ)} + 25 \text{ (છોકરીઓ)} = 60$.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા (છોકરીની પસંદગી) = $25$.
કોઈપણ ઘટનાની સંભાવના $P$ શોધવાનું સૂત્ર: $P(\text{છોકરી}) = \frac{\text{છોકરીઓની સંખ્યા}}{\text{વિદ્યાર્થીઓની કુલ સંખ્યા}}$.
$P(\text{છોકરી}) = \frac{25}{60}$.
અંશ અને છેદને $5$ વડે ભાગતા, આપણને મળે છે: $P(\text{છોકરી}) = \frac{5}{12}$.

(A) ખામીયુક્ત બોલપેનની કુલ સંખ્યા = $12$.
સારી (ખામી રહિત) બોલપેનની કુલ સંખ્યા = $132$.
જથ્થામાં રહેલી કુલ બોલપેનની સંખ્યા = $12 + 132 = 144$.
ખામીયુક્ત બોલપેન પસંદ કરવાની સંભાવના એ ખામીયુક્ત બોલપેનની સંખ્યા અને કુલ બોલપેનની સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે.
$P(\text{ખામીયુક્ત}) = \frac{\text{ખામીયુક્ત બોલપેનની સંખ્યા}}{\text{કુલ બોલપેનની સંખ્યા}} = \frac{12}{144} = \frac{1}{12}$.
આમ,સંભાવના $\frac{1}{12}$ છે。

(A) ચાના પેકેટની કુલ સંખ્યા = $50$.
વજનમાં ઓછા હોય તેવા પેકેટની સંખ્યા = $5$.
કોઈ ઘટના $E$ ની સંભાવના $P(E)$ શોધવાનું સૂત્ર: $P(E) = \frac{\text{સાધ્ય પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા}}$.
અહીં, સાધ્ય પરિણામ એ વજનમાં ઓછું હોય તેવું પેકેટ પસંદ કરવું છે.
તેથી, $P(\text{વજનમાં ઓછું}) = \frac{5}{50} = \frac{1}{10} = 0.1$.
આમ, વજનમાં ઓછું પેકેટ પસંદ કરવાની સંભાવના $0.1$ છે.

(B) દડાઓની કુલ સંખ્યા = $5 + 7 + 4 + 2 = 18$.
ધારો કે $E$ એ સફેદ અથવા વાદળી દડો પસંદ કરવાની ઘટના છે.
સફેદ દડાઓની સંખ્યા = $5$.
વાદળી દડાઓની સંખ્યા = $2$.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા = $5 + 2 = 7$.
સંભાવના $P(E) = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{7}{18}$.

(A) દડાઓની કુલ સંખ્યા $= 5 + 7 + 4 + 2 = 18$.
લાલ દડાઓની સંખ્યા $= 7$.
કાળા દડાઓની સંખ્યા $= 4$.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા (લાલ અથવા કાળો) $= 7 + 4 = 11$.
સંભાવના $= \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{11}{18}$.

(A) દડાઓની કુલ સંખ્યા = $5 + 7 + 4 + 2 = 18$.
સફેદ દડાઓની સંખ્યા = $5$.
કાળા દડાઓની સંખ્યા = $4$.
જે દડા સફેદ પણ નથી અને કાળા પણ નથી તેની સંખ્યા = કુલ દડા - (સફેદ દડા + કાળા દડા) = $18 - (5 + 4) = 18 - 9 = 9$.
જે દડા સફેદ કે કાળા નથી તે લાલ અને વાદળી દડા છે,જેની સંખ્યા $7 + 2 = 9$ છે.
સંભાવના = $\frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{9}{18} = \frac{1}{2}$.

(C) જ્યારે બે સમતોલ પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
બંને પાસા પરની સંખ્યાઓનો ગુણાકાર એકી હોવા માટે,બંને સંખ્યાઓ એકી હોવી જોઈએ.
પાસા પરની એકી સંખ્યાઓ $\{1, 3, 5\}$ છે.
તેથી,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $3 \times 3 = 9$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામો છે: $(1,1), (1,3), (1,5), (3,1), (3,3), (3,5), (5,1), (5,3), (5,5)$.
સંભાવના $P$ એ સાનુકૂળ પરિણામો અને કુલ પરિણામોનો ગુણોત્તર છે:
$P = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$.

(A) જ્યારે બે સમતોલ પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
બંને પાસા પરના અંક સમાન હોય તેવા પરિણામો: $(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)$ છે.
આવા કુલ $6$ સાનુકૂળ પરિણામો છે.
સમાન અંક મળવાની સંભાવના $P$ એ સાનુકૂળ પરિણામો અને કુલ પરિણામોનો ગુણોત્તર છે:
$P = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.

(B) સ્ક્રૂની કુલ સંખ્યા = $500$.
ખામીયુક્ત સ્ક્રૂની સંખ્યા = $80$.
ખામી રહિત સ્ક્રૂની સંખ્યા = $500 - 80 = 420$.
ખામી રહિત સ્ક્રૂ પસંદ કરવાની સંભાવના એ ખામી રહિત સ્ક્રૂની સંખ્યા અને સ્ક્રૂની કુલ સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે.
સંભાવના = $\frac{\text{ખામી રહિત સ્ક્રૂની સંખ્યા}}{\text{સ્ક્રૂની કુલ સંખ્યા}} = \frac{420}{500}$.
અપૂર્ણાંકનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{420}{500} = \frac{42}{50} = \frac{21}{25}$.
તેથી,સંભાવના $\frac{21}{25}$ છે.

(C) પેટીમાં કુલ ચિઠ્ઠીઓની સંખ્યા $n(S) = 20$ છે.
ચિઠ્ઠીઓ પર $1$ થી $20$ સુધીના નંબર લખેલા છે.
$1$ અને $20$ ની વચ્ચેની એકી સંખ્યાઓ $1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19$ છે.
એકી સંખ્યા ધરાવતી ચિઠ્ઠીઓની સંખ્યા $n(E) = 10$ છે.
એકી સંખ્યાવાળી ચિઠ્ઠી પસંદ કરવાની સંભાવના $P(E)$ નું સૂત્ર $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $P(E) = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$ મળે છે.

(D) કુલ પરિણામોની સંખ્યા $20$ છે (કારણ કે ચિઠ્ઠીઓ $1$ થી $20$ સુધી ક્રમાંકિત છે).
$1$ થી $20$ ની વચ્ચેની અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ: $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $8$ છે.
અવિભાજ્ય સંખ્યા પસંદ કરવાની સંભાવના $P$ એ સાનુકૂળ પરિણામો અને કુલ પરિણામોનો ગુણોત્તર છે.
$P = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}$.

(A) બોક્સમાં કુલ ચિઠ્ઠીઓની સંખ્યા = $20$.
તેથી,કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા = $20$.
$1$ થી $20$ ની વચ્ચે $5$ ના ગુણકો $5, 10, 15, 20$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા = $4$.
ઘટનાની સંભાવના શોધવાનું સૂત્ર: $P(E) = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા}}$.
તેથી,$P(E) = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}$.

(B) જ્યારે એક નિષ્પક્ષ સિક્કાને $3$ વાર ઉછાળવામાં આવે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $2^3 = 8$ થાય છે.
નિદર્શાવકાશ $S$ નીચે મુજબ છે:
$S = \{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\}$.
ઘટના $A$ એ બરાબર $2$ છાપ મળવાની ઘટના છે.
ઘટના $A$ માટે સાનુકૂળ પરિણામો $\{HHT, HTH, THH\}$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(A) = 3$ છે.
તેથી,સંભાવના $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{3}{8}$ થાય.

(C) જ્યારે એક નિષ્પક્ષ સિક્કાને ત્રણ વાર ઉછાળવામાં આવે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $2^3 = 8$ થાય છે.
નિદર્શાવકાશ $S$ આ મુજબ છે: $S = \{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\}$.
ઘટના $B$ ને ઓછામાં ઓછી $2$ છાપ મળે તે રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી છે.
ઘટના $B$ માટે સાનુકૂળ પરિણામો: $\{HHH, HHT, HTH, THH\}$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(B) = 4$ છે.
ઘટના $B$ ની સંભાવના $P(B) = \frac{n(B)}{n(S)} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ થાય.

(D) જ્યારે એક નિષ્પક્ષ સિક્કાને ત્રણ વાર ઉછાળવામાં આવે,ત્યારે નિદર્શાવકાશ $S$ નીચે મુજબ મળે છે:
$S = \{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\}$
કુલ પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 8$.
ઘટના $C$ ને વધુમાં વધુ $2$ છાપ મળે તે રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી છે.
આનો અર્થ એ છે કે આપણને $0, 1,$ અથવા $2$ છાપ મળી શકે છે.
ઘટના $C$ ને અનુરૂપ પરિણામો છે:
$0$ છાપ: ${TTT}$
$1$ છાપ: ${HTT, THT, TTH}$
$2$ છાપ: ${HHT, HTH, THH}$
સાનુકૂળ પરિણામોની કુલ સંખ્યા $n(C) = 1 + 3 + 3 = 7$.
વૈકલ્પિક રીતે,માત્ર એક જ પરિણામ ${HHH}$ (જેમાં $3$ છાપ છે) આમાં સમાવિષ્ટ નથી.
તેથી,$P(C) = \frac{n(C)}{n(S)} = \frac{7}{8}$.

(A) પેટીમાં કુલ તકતીઓની સંખ્યા = $50$ છે.
તેથી, કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા = $50$ છે.
ધારો કે $E$ એ $11$ નો ગુણક હોય તેવી તકતી પસંદ કરવાની ઘટના છે.
$1$ થી $50$ ની વચ્ચે $11$ ના ગુણકો $11, 22, 33,$ અને $44$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા = $4$ છે.
સંભાવના $P(E)$ નું સૂત્ર: $P(E) = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}}$.
$P(E) = \frac{4}{50} = \frac{2}{25}$.

(B) કુલ પરિણામોની સંખ્યા $50$ છે (કારણ કે તકતીઓ પર $1$ થી $50$ નંબર લખેલા છે).
$1$ થી $50$ ની વચ્ચેની અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ: $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47$ છે.
આ સંખ્યાઓને ગણતા,કુલ $15$ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ મળે છે.
અવિભાજ્ય સંખ્યા પસંદ કરવાની સંભાવના $P$ એ સાનુકૂળ પરિણામો અને કુલ પરિણામોનો ગુણોત્તર છે:
$P = \frac{15}{50} = \frac{3}{10}$.

(C) કુલ તકતીઓની સંખ્યા = $50$.
$1$ થી $50$ ની વચ્ચે $10$ ના ગુણકો છે: $10, 20, 30, 40, 50$.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા = $5$.
સંભાવના = $\frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{5}{50} = \frac{1}{10}$.

(D) પેટીમાં રહેલા કુલ દડાની સંખ્યા = $5$ (સફેદ) + $7$ (લાલ) + $4$ (કાળા) + $2$ (વાદળી) = $18$.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા (કાળો અથવા સફેદ દડો પસંદ કરવો) = $5$ (સફેદ) + $4$ (કાળા) = $9$.
કાળો અથવા સફેદ દડો પસંદ કરવાની સંભાવના $P$ એ સાનુકૂળ પરિણામો અને કુલ પરિણામોના ગુણોત્તર દ્વારા મળે છે.
$P = \frac{9}{18} = \frac{1}{2}$.

(A) પેટીમાં રહેલા દડાઓની કુલ સંખ્યા એ તમામ રંગના દડાઓનો સરવાળો છે:
કુલ દડા $= 5 + 7 + 4 + 2 = 18$.
લાલ દડાઓની સંખ્યા $7$ છે.
લાલ દડો પસંદ કરવાની સંભાવના એ લાલ દડાઓની સંખ્યા અને કુલ દડાઓની સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે:
$P(\text{લાલ}) = \frac{\text{લાલ દડાઓની સંખ્યા}}{\text{કુલ દડાઓની સંખ્યા}} = \frac{7}{18}$.

(C) $1$. સૌ પ્રથમ,ચોરસ બોર્ડનું ક્ષેત્રફળ શોધો: $\text{ચોરસનું ક્ષેત્રફળ} = \text{બાજુ}^2 = 20 \, cm \times 20 \, cm = 400 \, cm^2$.
$2$. ત્યારબાદ,ત્રિકોણનો પ્રકાર નક્કી કરો. અહીં $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$ હોવાથી,આ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
$3$. ત્રિકોણાકાર લક્ષ્યનું ક્ષેત્રફળ શોધો: $\text{ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 5 \, cm \times 12 \, cm = 30 \, cm^2$.
$4$. ડાર્ટ લક્ષ્યને વાગે તેની સંભાવના $P$ એ લક્ષ્યના ક્ષેત્રફળ અને બોર્ડના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર છે: $P = \frac{\text{ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ}}{\text{ચોરસનું ક્ષેત્રફળ}} = \frac{30}{400} = \frac{3}{40}$.

(D) એક-અંકી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગણ $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ છે.
કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 9$ છે.
તેમાં બેકી સંખ્યાઓનો ગણ $E = \{2, 4, 6, 8\}$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(E) = 4$ છે.
સંભાવના $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{4}{9}$ થાય.

(A) એક-અંકી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગણ $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ છે.
કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 9$ છે.
આમાં $3$ ના ગુણકો $E = \{3, 6, 9\}$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(E) = 3$ છે.
સંભાવના $P(E)$ નું સૂત્ર $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)}$ છે.
તેથી,$P(E) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.

(B) જ્યારે એક સમતોલ પાસાને ઉછાળવામાં આવે ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામો $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ છે,તેથી કુલ પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 6$ છે.
પાસાની બાજુઓ પર $3$ ના ગુણકો $3$ અને $6$ છે.
ધારો કે $E$ એ $3$ નો ગુણક મળવાની ઘટના છે. તેથી $E = \{3, 6\}$,એટલે કે સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(E) = 2$ છે.
સંભાવના $P(E)$ નું સૂત્ર $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)}$ છે.
$P(E) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
આમ,$3$ નો ગુણક મળવાની સંભાવના $\frac{1}{3}$ છે.

(C) જ્યારે એક સમતોલ પાસાને ફેંકવામાં આવે ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6$ છે,જે $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ છે.
ધારો કે $E$ એ $4$ કરતા મોટી સંખ્યા મળવાની ઘટના છે.
પાસા પર $4$ કરતા મોટી સંખ્યાઓ $5$ અને $6$ છે.
આમ,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $2$ છે.
સંભાવના $P(E)$ એ સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા અને કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યાના ગુણોત્તર દ્વારા મળે છે.
$P(E) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

(D) બિન-લીપ વર્ષમાં $365$ દિવસ હોય છે.
$365$ દિવસ $= 52$ અઠવાડિયા અને $1$ વધારાનો દિવસ.
$52$ અઠવાડિયામાં $52$ શુક્રવાર હોય છે.
વર્ષમાં $53$ શુક્રવાર હોય તે માટે,બાકી રહેલો $1$ વધારાનો દિવસ શુક્રવાર હોવો જોઈએ.
વધારાના દિવસ માટે શક્ય પરિણામો છે: {સોમવાર,મંગળવાર,બુધવાર,ગુરુવાર,શુક્રવાર,શનિવાર,રવિવાર}.
કુલ પરિણામોની સંખ્યા $= 7$.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા (શુક્રવાર) $= 1$.
તેથી,સંભાવના $= \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{1}{7}$.

(A) ડિસેમ્બર મહિનામાં કુલ $31$ દિવસ હોય છે.
$31$ દિવસમાં $4$ પૂર્ણ અઠવાડિયા અને $3$ વધારાના દિવસો હોય છે $(31 = 7 \times 4 + 3)$.
આ $3$ વધારાના દિવસો નીચે મુજબની જોડીમાં હોઈ શકે છે: (રવિવાર,સોમવાર,મંગળવાર),(સોમવાર,મંગળવાર,બુધવાર),(મંગળવાર,બુધવાર,ગુરુવાર),(બુધવાર,ગુરુવાર,શુક્રવાર),(ગુરુવાર,શુક્રવાર,શનિવાર),(શુક્રવાર,શનિવાર,રવિવાર),અથવા (શનિવાર,રવિવાર,સોમવાર).
આ $7$ શક્ય પરિણામોમાંથી,શનિવાર આવતો હોય તેવી જોડીઓ: (ગુરુવાર,શુક્રવાર,શનિવાર),(શુક્રવાર,શનિવાર,રવિવાર),અને (શનિવાર,રવિવાર,સોમવાર) છે.
કુલ $7$ શક્યતાઓમાંથી $3$ સાનુકૂળ પરિણામો છે.
તેથી,સંભાવના $\frac{3}{7}$ છે.

(B) બિન-લીપ વર્ષના ફેબ્રુઆરી મહિનામાં કુલ $28$ દિવસો હોય છે.
$28$ દિવસોમાં બરાબર $4$ અઠવાડિયા હોય છે ($4 \times 7 = 28$ દિવસ).
તેથી,બિન-લીપ વર્ષના ફેબ્રુઆરી મહિનામાં અઠવાડિયાનો દરેક વાર બરાબર $4$ વખત આવે છે.
અહીં કોઈ વધારાના દિવસો ન હોવાથી,$5$ બુધવાર હોવા અશક્ય છે.
આમ,તેની સંભાવના $0$ છે.

(C) લીપ વર્ષમાં ફેબ્રુઆરી મહિનામાં $29$ દિવસ હોય છે.
$29$ દિવસમાં $4$ પૂર્ણ અઠવાડિયા અને $1$ વધારાનો દિવસ હોય છે $(29 = 4 \times 7 + 1)$.
આ $4$ અઠવાડિયામાં $4$ મંગળવાર,$4$ બુધવાર,$4$ ગુરુવાર,$4$ શુક્રવાર,$4$ શનિવાર,$4$ રવિવાર અને $4$ સોમવારનો સમાવેશ થાય છે.
બાકી રહેલો $1$ વધારાનો દિવસ અઠવાડિયાના $7$ દિવસોમાંથી કોઈ પણ હોઈ શકે છે: {સોમવાર,મંગળવાર,બુધવાર,ગુરુવાર,શુક્રવાર,શનિવાર,રવિવાર}.
ફેબ્રુઆરીમાં $5$ મંગળવાર હોય તે માટે,આ વધારાનો દિવસ મંગળવાર હોવો જોઈએ.
કુલ $7$ શક્ય પરિણામોમાંથી માત્ર $1$ સાનુકૂળ પરિણામ (મંગળવાર) છે.
તેથી,સંભાવના $\frac{1}{7}$ છે.

(D) એપ્રિલ મહિનામાં કુલ $30$ દિવસ હોય છે.
$30$ દિવસમાં $4$ પૂર્ણ અઠવાડિયા અને $2$ વધારાના દિવસો હોય છે.
$4 \times 7 = 28$ દિવસ.
$30 - 28 = 2$ દિવસ બાકી રહે છે.
આ $2$ વધારાના દિવસો નીચેનામાંથી કોઈ પણ જોડી હોઈ શકે છે: (રવિવાર,સોમવાર),(સોમવાર,મંગળવાર),(મંગળવાર,બુધવાર),(બુધવાર,ગુરુવાર),(ગુરુવાર,શુક્રવાર),(શુક્રવાર,શનિવાર),અથવા (શનિવાર,રવિવાર).
આ $2$ વધારાના દિવસો માટે કુલ $7$ શક્ય પરિણામો છે.
મહિનામાં $5$ શુક્રવાર આવે તે માટે,$2$ વધારાના દિવસોમાં શુક્રવારનો સમાવેશ થવો જોઈએ.
સાનુકૂળ પરિણામો (ગુરુવાર,શુક્રવાર) અને (શુક્રવાર,શનિવાર) છે.
આમ,$2$ સાનુકૂળ પરિણામો મળે છે.
તેથી,સંભાવના = $\frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{2}{7}$.

(A) એપ્રિલ મહિનામાં કુલ $30$ દિવસ હોય છે.
$30$ દિવસમાં $4$ પૂર્ણ અઠવાડિયા અને $2$ વધારાના દિવસો હોય છે $(30 = 7 \times 4 + 2)$.
આ $2$ વધારાના દિવસો નીચેનામાંથી કોઈ પણ જોડી હોઈ શકે છે: (રવિવાર,સોમવાર),(સોમવાર,મંગળવાર),(મંગળવાર,બુધવાર),(બુધવાર,ગુરુવાર),(ગુરુવાર,શુક્રવાર),(શુક્રવાર,શનિવાર) અથવા (શનિવાર,રવિવાર).
આ $2$ વધારાના દિવસો માટે કુલ $7$ શક્ય પરિણામો છે.
મહિનામાં $5$ રવિવાર આવે તે માટે,$2$ વધારાના દિવસોમાંથી એક રવિવાર હોવો જરૂરી છે.
સાનુકૂળ પરિણામો (રવિવાર,સોમવાર) અને (શનિવાર,રવિવાર) છે.
કુલ $7$ શક્યતાઓમાંથી $2$ સાનુકૂળ પરિણામો છે.
તેથી,સંભાવના $2/7$ છે.

(B) $100$ ગુણની કસોટીમાં,વિદ્યાર્થી $0$ થી $100$ સુધીના ગુણ મેળવી શકે છે.
કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા = $100 - 0 + 1 = 101$.
આપણે $60$ થી વધુ અને $66$ થી ઓછા ગુણ મેળવવાની સંભાવના શોધવાની છે.
શક્ય ગુણ $61, 62, 63, 64, 65$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા = $5$.
સંભાવના = $\frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{5}{101}$.

(C) સૂર્ય પશ્ચિમમાં આથમે તે ઘટના એક 'ચોક્કસ ઘટના' છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,ચોક્કસ ઘટનાની સંભાવના હંમેશા $1$ હોય છે.

(D) સારી રીતે ચીપેલા પત્તાના પેકમાં કુલ પત્તાની સંખ્યા $52$ છે.
$52$ પત્તાના પ્રમાણિત ડેકમાં $4$ ગલ્લા (jacks) હોય છે (દરેક પ્રકારના પત્તા માટે એક: લાલ,ચોકટ,ફુલ્લી અને કાળી).
કોઈ ઘટનાની સંભાવના $P$ શોધવાનું સૂત્ર છે: $P = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{શક્ય કુલ પરિણામોની સંખ્યા}}$.
અહીં,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા (ગલ્લો ખેંચવો) $4$ છે.
શક્ય કુલ પરિણામોની સંખ્યા $52$ છે.
તેથી,સંભાવના $P = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$ થાય.

(A) જ્યારે એક સમતોલ પાસાને ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામો $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ છે.
કુલ પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 6$ છે.
ધારો કે $E$ એ $3$ કરતા નાની સંખ્યા મેળવવાની ઘટના છે.
સાનુકૂળ પરિણામો $E = \{1, 2\}$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(E) = 2$ છે.
સંભાવના $P(E)$ નું સૂત્ર $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)}$ છે.
તેથી,$P(E) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

(C) જ્યારે એક નિષ્પક્ષ સિક્કાને એકવાર ઉછાળવામાં આવે છે,ત્યારે શક્ય પરિણામો છાપ $(H)$ અને કાંટો $(T)$ છે.
જ્યારે તે જ સિક્કાને બે વાર ઉછાળવામાં આવે છે,ત્યારે નિદર્શાવકાશ $S$ એ તમામ શક્ય પરિણામોની ક્રમિત જોડીઓનો ગણ છે.
$S = \{(H, H), (H, T), (T, H), (T, T)\}$.
આ પરિણામોની ગણતરી કરતા,આપણને કુલ $4$ શક્ય પરિણામો મળે છે.
તેથી,કુલ પરિણામોની સંખ્યા $4$ છે.

(B) જ્યારે એક નિષ્પક્ષ સિક્કાને બે વાર ઉછાળવામાં આવે છે,ત્યારે નિદર્શાવકાશ $S$ નીચે મુજબ મળે છે: $S = \{HH, HT, TH, TT\}$.
કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $n = 4$ છે.
ધારો કે $A$ એ બે છાપ મળવાની ઘટના છે. અહીં સાનુકૂળ પરિણામ માત્ર $HH$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $m = 1$ છે.
ઘટના $A$ ની સંભાવના શોધવાનું સૂત્ર $P(A) = \frac{m}{n}$ છે.
તેથી,$P(A) = \frac{1}{4}$.

(D) એક સમતોલ પાસાને એકવાર ફેંકતા મળતા કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $n = 6$ છે,જે $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ છે.
ધારો કે $A$ એ બેકી સંખ્યા મળવાની ઘટના છે. ઘટના $A$ માટે સાનુકૂળ પરિણામો $\{2, 4, 6\}$ છે.
આમ,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $m = 3$ છે.
ઘટના $A$ ની સંભાવના $P(A) = \frac{m}{n} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ થાય.

(C) એક પ્રમાણિત સમતોલ પાસા પર $1$ થી $6$ સુધીના અંકો હોય છે.
પાસાની કોઈ પણ બાજુ પર $7$ અંક હોતો નથી,તેથી એકવાર ફેંકતા $7$ અંક મળવો અશક્ય છે.
જે ઘટના ઉદ્ભવી શકતી નથી તેને અશક્ય ઘટના કહેવાય છે અને તેની સંભાવના હંમેશા $0$ હોય છે.
તેથી,માંગેલ સંભાવના $0$ છે.

(C) સારી રીતે ચીપેલા પત્તાંના પેકમાં કુલ પત્તાંની સંખ્યા $n = 52$ છે.
ચિત્રવાળું પત્તું (face card) એટલે રાજા,રાણી અથવા ગુલામ. પત્તાંના પેકમાં $4$ રાજા,$4$ રાણી અને $4$ ગુલામ હોય છે.
તેથી,ચિત્રવાળું પત્તું ખેંચવા માટેના સાનુકૂળ પરિણામોની કુલ સંખ્યા $m = 4 + 4 + 4 = 12$ થાય.
ચિત્રવાળું પત્તું ખેંચવાની સંભાવના $P(A)$ એ સાનુકૂળ પરિણામો અને કુલ પરિણામોના ગુણોત્તર દ્વારા મળે છે:
$P(A) = \frac{m}{n} = \frac{12}{52} = \frac{3}{13}$.

(B) $52$ પત્તાંના સારી રીતે ચીપેલા પેકમાં કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $n = 52$ છે.
ધારો કે ઘટના $A$ એ ખેંચેલું પત્તું એક્કો હોવાની ઘટના છે.
$52$ પત્તાંના પ્રમાણિત પેકમાં $4$ એક્કા હોય છે,તેથી સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $m = 4$ છે.
કોઈપણ ઘટનાની સંભાવના શોધવાનું સૂત્ર $P(A) = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{m}{n}$ છે.
તેથી,$P(A) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$.

(C) $52$ પત્તાંના સારી રીતે ચીપેલા પેકમાંથી એક પત્તું ખેંચતા કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $n = 52$ છે.
પત્તાંના પ્રમાણિત પેકમાં બે કાળા રંગના પ્રકાર (suits) હોય છે: કાળી (Spades) અને ફુલ્લી (Clubs).
દરેક પ્રકારમાં $13$ પત્તાં હોય છે,તેથી કુલ કાળા પત્તાંની સંખ્યા $13 + 13 = 26$ થાય.
ધારો કે ઘટના $A$ એ ખેંચેલું પત્તું કાળા રંગનું હોય તે ઘટના છે.
ઘટના $A$ માટે સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $m = 26$ છે.
સંભાવના $P(A)$ એ સાનુકૂળ પરિણામો અને કુલ પરિણામોના ગુણોત્તર દ્વારા મળે છે:
$P(A) = \frac{m}{n} = \frac{26}{52} = \frac{1}{2}$.