Complementary Events and Simple Problems Questions in Gujarati

(C) ધારો કે $S$ અને $R$ એ ઘટનાઓ છે કે સંગીતા મેચ જીતે છે અને રેશ્મા મેચ જીતે છે,અનુક્રમે.
સંગીતા મેચ જીતે તેની સંભાવના $P(S) = 0.62$ છે (આપેલ છે).
જેમ કે ઘટનાઓ $S$ અને $R$ પૂરક ઘટનાઓ છે,તેથી રેશ્મા મેચ જીતે તેની સંભાવના $P(R) = 1 - P(S)$ થશે.
તેથી,$P(R) = 1 - 0.62 = 0.38$.

(A) બે મિત્રોમાંથી,એક છોકરી,ધારો કે સવિતાનો જન્મદિવસ વર્ષના કોઈપણ દિવસે હોઈ શકે છે. હવે,હમીદાનો જન્મદિવસ પણ વર્ષના $365$ દિવસોમાંથી કોઈપણ દિવસે હોઈ શકે છે.
આપણે ધારી લઈએ છીએ કે આ $365$ પરિણામો સમાન રીતે સંભવિત છે.
$(i)$ જો હમીદાનો જન્મદિવસ સવિતાના જન્મદિવસથી અલગ હોય,તો તેના જન્મદિવસ માટે સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $365 - 1 = 364$ છે.
તેથી,$P(\text{હમીદાનો જન્મદિવસ સવિતાના જન્મદિવસથી અલગ હોય}) = \frac{364}{365}$.
$(ii)$ $P(\text{સવિતા અને હમીદાનો જન્મદિવસ એક જ હોય})$
$= 1 - P(\text{બંનેના જન્મદિવસ અલગ-અલગ હોય})$
$= 1 - \frac{364}{365} \quad [P(\overline{E}) = 1 - P(E) \text{ નો ઉપયોગ કરતા}]$
$= \frac{1}{365}$.

(A) $(i)$ ઘટના $E$ અને તેની પૂરક ઘટના 'નહીં $E$' ની સંભાવનાઓનો સરવાળો હંમેશા $1$ થાય છે. તેથી,$P(E) + P(\text{નહીં } E) = 1$.
$(ii)$ જે ઘટના ઉદ્ભવી શકતી નથી તેની સંભાવના $0$ છે. આવી ઘટનાને અશક્ય ઘટના કહેવાય છે.
$(iii)$ જે ઘટના ચોક્કસપણે ઉદ્ભવે છે તેની સંભાવના $1$ છે. આવી ઘટનાને ચોક્કસ ઘટના કહેવાય છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે ઘટનાની સંભાવના અને તેની પૂરક ઘટનાની સંભાવનાનો સરવાળો $1$ થાય છે.
$P(E) + P(\text{not } E) = 1$
અહીં આપેલ છે કે $P(E) = 0.05$.
તેથી,$P(\text{not } E) = 1 - P(E)$
$P(\text{not } E) = 1 - 0.05$
$P(\text{not } E) = 0.95$
આમ,'$E$ નહીં' ની સંભાવના $0.95$ છે.

(C) ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે $2$ વિદ્યાર્થીઓનો જન્મદિવસ સમાન છે.
ધારો કે $\bar{E}$ એ ઘટના છે કે $2$ વિદ્યાર્થીઓનો જન્મદિવસ સમાન નથી.
અહીં આપેલ છે કે $P(\bar{E}) = 0.992$.
આપણે જાણીએ છીએ કે પૂરક ઘટનાઓની સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થાય છે,તેથી $P(E) + P(\bar{E}) = 1$.
તેથી,$P(E) = 1 - P(\bar{E})$.
$P(E) = 1 - 0.992 = 0.008$.

(C) સિક્કાને $3$ વખત ઉછાળતા મળતા શક્ય પરિણામો નીચે મુજબ છે:
$(HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT)$
કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $= 8$.
જો તમામ ઉછાળમાં સમાન પરિણામ મળે તો હનીફ જીતે છે,જે $(HHH)$ અથવા $(TTT)$ છે.
જીતવા માટેના સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $= 2$.
જીતવાની સંભાવના $P(\text{Win}) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.
કોઈ ઘટના અને તેની પૂરક ઘટનાની સંભાવનાનો સરવાળો $1$ હોવાથી,હારવાની સંભાવના:
$P(\text{Lose}) = 1 - P(\text{Win}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.

(A) કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $= 6 \times 6 = 36$ છે.
$(i)$ ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે $5$ ઓછામાં ઓછી એક વાર આવે. જે પરિણામોમાં $5$ આવે છે તે છે: $(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (1,5), (2,5), (3,5), (4,5), (6,5)$.
ઘટના $E$ માટે સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $= 11$ છે.
$5$ ઓછામાં ઓછી એક વાર આવે તેની સંભાવના $P(E) = \frac{11}{36}$ છે.
$5$ એક પણ વાર ન આવે તેની સંભાવના $P(\text{not } E) = 1 - P(E) = 1 - \frac{11}{36} = \frac{25}{36}$ થાય.
$(ii)$ $5$ ઓછામાં ઓછી એક વાર આવે તેની સંભાવના $P(E) = \frac{11}{36}$ છે.

(A) કોઈપણ ઘટનાની સંભાવના અને તેની પૂરક ઘટનાની સંભાવનાનો સરવાળો હંમેશા $1$ થાય છે.
ધારો કે $E$ એક ઘટના છે અને $E'$ તેની પૂરક ઘટના છે.
તેથી,$P(E) + P(E') = 1$.
અહીં આપેલ છે કે ઘટનાની સંભાવના $p$ છે,એટલે કે $P(E) = p$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને મળે છે $p + P(E') = 1$.
તેથી,તેની પૂરક ઘટનાની સંભાવના $P(E') = 1 - p$ થશે.

(C) પત્તાના એક પ્રમાણિત ઢગમાં કુલ $52$ પત્તા હોય છે.
તેમાં લાલનો એક્કો હોય તેવું માત્ર $1$ જ પત્તું હોય છે.
ઘટના $E$ એવી રીતે વ્યાખ્યાયિત છે કે ખેંચેલું પત્તું લાલનો એક્કો નથી.
$E$ માટે સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે કુલ પત્તામાંથી લાલના એક્કાની સંખ્યા બાદ કરીશું.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા = કુલ પત્તા - લાલના એક્કાની સંખ્યા
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા = $52 - 1 = 51$.

(B) ના,આ સાચું નથી.
જ્યારે એક સમતોલ પાસો ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6$ છે,જે ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$ છે.
$1$ મેળવવાની સંભાવના $P(1) = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{1}{6}$ છે.
'$1$ નહીં' મેળવવાની સંભાવના $P(\text{not } 1) = 1 - P(1) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ છે.
અહીં $\frac{1}{6} \neq \frac{5}{6}$ હોવાથી,વિદ્યાર્થીનો દાવો કે દરેક સંભાવના $\frac{1}{2}$ છે તે ખોટો છે.

(A) જ્યારે બે પાસાઓને એકસાથે ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
$(i)$ ધારો કે $E_1$ એ બંને પાસા પર સમાન સંખ્યા મેળવવાની ઘટના છે.
સાનુકૂળ પરિણામો $(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $= 6$.
સંભાવના $P(E_1) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.
$(ii)$ ધારો કે $E_2$ એ બંને પાસા પર અલગ-અલગ સંખ્યા મેળવવાની ઘટના છે.
આ ઘટના $E_1$ ની પૂરક ઘટના છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $= 36 - 6 = 30$.
સંભાવના $P(E_2) = \frac{30}{36} = \frac{5}{6}$.

(B) $52$ પત્તાંના સારી રીતે ચીપેલા પેકમાંથી એક પત્તું યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવાના પ્રયોગમાં,કુલ પ્રાથમિક પરિણામોની સંખ્યા $52$ છે.
ધારો કે ઘટના $D$ એ પસંદ કરેલું પત્તું રાજા ન હોય તે દર્શાવે છે.
ધારો કે ઘટના $\bar{D}$ એ પસંદ કરેલું પત્તું રાજા હોય તે દર્શાવે છે.
ઘટના $\bar{D}$ માટે સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $4$ છે,કારણ કે પત્તાંના પેકમાં $4$ રાજા હોય છે.
તેથી,$P(\bar{D}) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$.
પૂરક ઘટનાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$P(D) = 1 - P(\bar{D})$.
તેથી,$P(D) = 1 - \frac{1}{13} = \frac{12}{13}$.
આમ,પસંદ કરેલું પત્તું રાજા ન હોય તેની સંભાવના $\frac{12}{13}$ છે.

(A) પેટીમાં કુલ દડાની સંખ્યા $= 5 + 8 + 4 = 17$.
તેથી,પેટીમાંથી એક દડો પસંદ કરવાના પ્રયોગમાં કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $= 17$.
ધારો કે ઘટના $C$ એ પસંદ કરેલો દડો લીલો ન હોય તે ઘટના છે.
ધારો કે ઘટના $\overline{C}$ એ પસંદ કરેલો દડો લીલો હોય તે ઘટના છે.
પેટીમાં $4$ લીલા દડા છે.
તેથી,ઘટના $\overline{C}$ માટે સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $= 4$.
આમ,$P(\overline{C}) = \frac{4}{17}$.
પૂરક ઘટનાના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$P(C) = 1 - P(\overline{C})$.
તેથી,$P(C) = 1 - \frac{4}{17} = \frac{17 - 4}{17} = \frac{13}{17}$.

(D) દડાઓની કુલ સંખ્યા = $5 + 7 + 4 + 2 = 18$.
સફેદ દડાઓની સંખ્યા = $5$.
સફેદ ન હોય તેવા દડાઓની સંખ્યા = કુલ દડા - સફેદ દડા = $18 - 5 = 13$.
સફેદ ન હોય તેવો દડો પસંદ કરવાની સંભાવના = $\frac{\text{સફેદ ન હોય તેવા દડાની સંખ્યા}}{\text{દડાઓની કુલ સંખ્યા}} = \frac{13}{18}$.

(B) દડાઓની કુલ સંખ્યા = $5 + 7 + 4 + 2 = 18$.
વાદળી દડાઓની સંખ્યા = $2$.
વાદળી દડો પસંદ કરવાની સંભાવના $P(\text{Blue}) = \frac{\text{વાદળી દડાઓની સંખ્યા}}{\text{દડાઓની કુલ સંખ્યા}} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$.
દડો વાદળી ન હોય તેની સંભાવના $P(\text{Not Blue}) = 1 - P(\text{Blue})$ દ્વારા મળે છે.
$P(\text{Not Blue}) = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$.

(D) કોઈપણ ઘટના અને તેની પૂરક ઘટનાની સંભાવનાનો સરવાળો હંમેશા $1$ થાય છે.
અહીં $P(A) = 0.54$ આપેલ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $P(A) + P(\overline{A}) = 1$.
તેથી,$P(\overline{A}) = 1 - P(A)$.
$P(\overline{A}) = 1 - 0.54 = 0.46$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ ઘટના $B$ માટે,ઘટનાની સંભાવના અને તેની પૂરક ઘટનાની સંભાવનાનો સરવાળો $1$ થાય છે.
$P(B) + P(\overline{B}) = 1$
અહીં આપેલ છે કે $P(\overline{B}) = 0.81$.
આ કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે:
$P(B) + 0.81 = 1$
$P(B) = 1 - 0.81$
$P(B) = 0.19$

(B) કોઈ ઘટના અને તેની પૂરક ઘટનાની સંભાવનાનો સરવાળો હંમેશા $1$ થાય છે.
આપેલ છે કે $P(C) = \frac{2}{5}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $P(C) + P(\bar{C}) = 1$.
તેથી,$P(\bar{C}) = 1 - P(C)$.
$P(\bar{C}) = 1 - \frac{2}{5} = \frac{5 - 2}{5} = \frac{3}{5}$.

(C) કોઈ ઘટના અને તેની પૂરક ઘટનાની સંભાવનાનો સરવાળો હંમેશા $1$ થાય છે.
એટલે કે,$P(D) + P(\overline{D}) = 1$.
અહીં આપેલ છે કે $P(\overline{D}) = \frac{6}{17}$,તેથી આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$P(D) + \frac{6}{17} = 1$
$P(D) = 1 - \frac{6}{17}$
$P(D) = \frac{17 - 6}{17}$
$P(D) = \frac{11}{17}$

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે ઘટનાની સંભાવના અને તેની પૂરક ઘટનાની સંભાવનાનો સરવાળો $1$ થાય છે,એટલે કે $P(A) + P(\bar{A}) = 1$.
આપેલ ગુણોત્તર $P(A) : P(\bar{A}) = 3 : 2$ પરથી,ધારો કે $P(A) = 3x$ અને $P(\bar{A}) = 2x$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા: $3x + 2x = 1$.
$5x = 1$,જેથી $x = \frac{1}{5}$ મળે.
તેથી,$P(A) = 3x = 3 \times \frac{1}{5} = \frac{3}{5}$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ ઘટના $A$ માટે,ઘટનાની સંભાવના અને તેની પૂરક ઘટનાની સંભાવનાનો સરવાળો $1$ થાય છે,એટલે કે $P(A) + P(\overline{A}) = 1$.
આપેલ ગુણોત્તર $P(A) : P(\overline{A}) = 4 : 1$ પરથી,આપણે ધારી શકીએ કે $P(A) = 4x$ અને $P(\overline{A}) = 1x$,જ્યાં $x$ એક અચળાંક છે.
આ કિંમતોને સરવાળાના સમીકરણમાં મૂકતા: $4x + 1x = 1$.
$5x = 1$,જે આપણને $x = \frac{1}{5}$ આપે છે.
તેથી,$P(\overline{A}) = 1x = 1 \times \frac{1}{5} = \frac{1}{5}$.

(C) $52$ પત્તાંના પ્રમાણિત પેકમાં $4$ પ્રકારના રંગ (suits) હોય છે,જેમાં દરેકના $13$ પત્તાં હોય છે.
ચોકટ (Diamonds) ના પત્તાંની સંખ્યા $13$ છે.
ચોકટ ન હોય તેવા પત્તાંની સંખ્યા $52 - 13 = 39$ છે.
કોઈપણ ઘટનાની સંભાવના એ સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા અને કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે.
$\text{સંભાવના (ચોકટ ન હોય)} = \frac{\text{ચોકટ ન હોય તેવા પત્તાંની સંખ્યા}}{\text{કુલ પત્તાંની સંખ્યા}} = \frac{39}{52}$.
અંશ અને છેદને $13$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{39 \div 13}{52 \div 13} = \frac{3}{4}$ મળે છે.

(A) $52$ પત્તાના પ્રમાણિત પેકમાં $4$ એક્કા હોય છે.
તેથી,એક્કા ન હોય તેવા પત્તાની સંખ્યા $52 - 4 = 48$ છે.
એક્કો ન હોય તેવું પત્તું ખેંચવાની સંભાવના એ સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા અને કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે.
$\text{સંભાવના} = \frac{\text{એક્કા ન હોય તેવા પત્તાની સંખ્યા}}{\text{કુલ પત્તાની સંખ્યા}} = \frac{48}{52}$.
અંશ અને છેદને $4$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{48 \div 4}{52 \div 4} = \frac{12}{13}$ મળે છે.

(B) થેલીમાં રહેલા કુલ દડાની સંખ્યા $= 6 + 5 + 4 = 15$.
$\therefore$ કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $= n = 15$.
પસંદ કરેલો દડો લાલ ન હોય તે ઘટના માટે સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $= m = 6 \text{ (લીલા)} + 4 \text{ (વાદળી)} = 10$.
$\therefore$ જરૂરી સંભાવના $= \frac{m}{n} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$.

(C) કોઈ ઘટના અને તેની પૂરક ઘટનાની સંભાવનાઓનો સરવાળો હંમેશા $1$ થાય છે.
આપેલ છે કે $P(A) = 0.6$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $P(A) + P(\bar{A}) = 1$.
તેથી,$P(\bar{A}) = 1 - P(A)$.
$P(\bar{A}) = 1 - 0.6 = 0.4$.

(C) કોઈ ઘટના અને તેની પૂરક ઘટનાની સંભાવનાનો સરવાળો હંમેશા $1$ થાય છે.
આપેલ છે કે $P(\bar{B}) = 0.55$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $P(B) + P(\bar{B}) = 1$.
તેથી,$P(B) = 1 - P(\bar{B})$.
કિંમત મૂકતા: $P(B) = 1 - 0.55 = 0.45$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) આપેલ ગુણોત્તર $P(A) : P(\bar{A}) = 3 : 4$ છે.
ધારો કે $P(A) = 3x$ અને $P(\bar{A}) = 4x$,જ્યાં $x$ એ એક અચળાંક છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે ઘટનાની સંભાવના અને તેની પૂરક ઘટનાની સંભાવનાનો સરવાળો હંમેશા $1$ થાય છે,એટલે કે $P(A) + P(\bar{A}) = 1$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $3x + 4x = 1$ મળે છે.
$7x = 1$,જેનો અર્થ છે કે $x = \frac{1}{7}$.
તેથી,$P(A) = 3x = 3 \times \frac{1}{7} = \frac{3}{7}$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ ઘટના $A$ માટે,ઘટનાની સંભાવના અને તેની પૂરક ઘટનાની સંભાવનાનો સરવાળો $P(A) + P(\bar{A}) = 1$ થાય છે.
આપેલ ગુણોત્તર $P(A) : P(\bar{A}) = 5 : 3$ પરથી,આપણે ધારી શકીએ કે $P(A) = 5k$ અને $P(\bar{A}) = 3k$,જ્યાં $k$ એક અચળાંક છે.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા: $5k + 3k = 1$.
$8k = 1$,જેનો અર્થ છે કે $k = \frac{1}{8}$.
તેથી,$P(\bar{A}) = 3k = 3 \times \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$.

(B) ધારો કે ઘટના $A$ એ એવી ઘટના છે કે જેમાં બંને પાસાઓ પર આવતી સંખ્યાઓ અલગ-અલગ હોય.
તો,પૂરક ઘટના $\overline{A}$ એ એવી ઘટના છે કે જેમાં બંને પાસાઓ પર આવતી સંખ્યાઓ સમાન હોય.
જ્યારે બે પાસાઓને ફેંકવામાં આવે ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
ઘટના $\overline{A}$ માટે સાનુકૂળ પરિણામો $(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)$ છે.
આમ,$\overline{A}$ માટે સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $m = 6$ છે.
ઘટના $\overline{A}$ ની સંભાવના $P(\overline{A}) = \frac{m}{n} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $P(A) + P(\overline{A}) = 1$,તેથી સંખ્યાઓ અલગ-અલગ હોય તેની સંભાવના $P(A) = 1 - P(\overline{A}) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ થાય.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈ ઘટના અને તેની પૂરક ઘટનાની સંભાવનાનો સરવાળો $1$ થાય છે,એટલે કે $P(A) + P(\bar{A}) = 1$.
આપણને સમીકરણ આપેલું છે: $P(A) - P(\bar{A}) = 0.5$.
આ બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$(P(A) + P(\bar{A})) + (P(A) - P(\bar{A})) = 1 + 0.5$
$2P(A) = 1.5$
$2$ વડે ભાગતા:
$P(A) = \frac{1.5}{2} = 0.75$.