Mix Examples - Some Applications of Trigonometry Questions in Gujarati

(B) ધારો કે $\overline{AB}$ એ $40 \, m$ ઊંચી ઇમારત છે. ધારો કે $C$ અને $D$ એ ગતિશીલ કારના બે સ્થાન છે.
આકૃતિ પરથી,$AB = 40 \, m$ અને $\angle B = 90^{\circ}$.
અવસેધકોણ $\angle XAC = 45^{\circ}$ અને $\angle XAD = 30^{\circ}$ છે.
રેખા $AX$ એ $BD$ ને સમાંતર હોવાથી,યુગ્મકોણ સમાન થાય:
$\angle ACB = \angle XAC = 45^{\circ}$ અને $\angle ADB = \angle XAD = 30^{\circ}$.
કાટકોણ $\triangle ABC$ માં:
$\tan(45^{\circ}) = \frac{AB}{BC} \implies 1 = \frac{40}{BC} \implies BC = 40 \, m$.
કાટકોણ $\triangle ABD$ માં:
$\tan(30^{\circ}) = \frac{AB}{BD} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{40}{BD} \implies BD = 40\sqrt{3} \, m$.
$\sqrt{3} \approx 1.73$ લેતા,$BD = 40 \times 1.73 = 69.2 \, m$.
કાર દ્વારા કાપેલું અંતર $CD = BD - BC$ છે.
$CD = 69.2 - 40 = 29.2 \, m$.
આમ,કાર દ્વારા કાપેલું અંતર $29.2 \, m$ છે.

(C) ધારો કે $\overline{AB}$ અને $\overline{ED}$ સમાન ઊંચાઈ $h \, m$ ના બે થાંભલા છે અને $C$ એ થાંભલાઓના પાયાને જોડતા રેખાખંડ $\overline{BD}$ પરનું અવલોકન બિંદુ છે.
આપેલ છે કે $BD = 200 \, m$. ધારો કે $BC = x \, m$,તો $CD = (200 - x) \, m$.
ઉત્સેધકોણ $\angle ACB = 60^{\circ}$ અને $\angle ECD = 30^{\circ}$ છે.
$\triangle ABC$ માં,$\tan 60^{\circ} = \frac{AB}{BC} \implies \sqrt{3} = \frac{h}{x} \implies x = \frac{h}{\sqrt{3}} \quad \dots(1)$
$\triangle EDC$ માં,$\tan 30^{\circ} = \frac{ED}{CD} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{200 - x} \implies 200 - x = \sqrt{3}h \implies x = 200 - \sqrt{3}h \quad \dots(2)$
$(1)$ અને $(2)$ ને સરખાવતા:
$\frac{h}{\sqrt{3}} = 200 - \sqrt{3}h$
$h = 200\sqrt{3} - 3h$
$4h = 200\sqrt{3}$
$h = 50\sqrt{3} \approx 50 \times 1.732 = 86.6 \, m$ ($\sqrt{3} \approx 1.732$ લેતા,નજીકનો વિકલ્પ $86.5 \, m$ છે).

(B) ધારો કે ટાવરના પાયા અને મધ્યબિંદુ વચ્ચેનું અંતર $a$ છે,અને ઇમારતના પાયા અને મધ્યબિંદુ વચ્ચેનું અંતર પણ $a$ છે.
ટાવર દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણમાં,આપણી પાસે $\tan \alpha = \frac{50}{a}$ છે.
ઇમારત દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણમાં,આપણી પાસે $\tan \beta = \frac{30}{a}$ છે.
ગુણોત્તર લેતા,આપણને $\frac{\tan \alpha}{\tan \beta} = \frac{50/a}{30/a} = \frac{50}{30} = \frac{5}{3}$ મળે છે.
કારણ કે $\frac{5}{3} > 1$,તેથી $\tan \alpha > \tan \beta$ થાય.
ટેન્જન્ટ વિધેય $(0, 90^\circ)$ અંતરાલમાં વધતું વિધેય હોવાથી,$\tan \alpha > \tan \beta$ નો અર્થ છે કે $\alpha > \beta$.

(B) બનેલા કાટકોણ ત્રિકોણમાં,ઇમારતની ઊંચાઈ $y$ (સામેની બાજુ) છે અને પાયાથી અંતર $x$ (પાસેની બાજુ) છે.
ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા,$\tan(70^\circ) = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{પાસેની બાજુ}} = \frac{y}{x}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan(45^\circ) = 1$.
ટેન્જન્ટ વિધેય $(0^\circ, 90^\circ)$ અંતરાલમાં વધતું વિધેય હોવાથી,અને $70^\circ > 45^\circ$ હોવાથી,$\tan(70^\circ) > \tan(45^\circ)$ થાય.
તેથી,$\tan(70^\circ) > 1$.
ગુણોત્તર મૂકતા,$\frac{y}{x} > 1$.
$x$ અને $y$ લંબાઈ હોવાથી (ધન મૂલ્યો),બંને બાજુ $x$ વડે ગુણતા આપણને $y > x$ મળે,જે $x < y$ ને સમાન છે.