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Class 10 Mathematics · Triangles · Similar Figures
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Questions
Hindi
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Showing 12 of 12 questions in Hindi
1
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कोष्ठक में दिए गए सही शब्दों का उपयोग करके रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए:
$(i)$ सभी वृत्त $........$ होते हैं। (सर्वांगसम,समरूप)
$(ii)$ सभी वर्ग $.........$ होते हैं। (समरूप,सर्वांगसम)
$(iii)$ सभी $.........$ त्रिभुज समरूप होते हैं। (समद्विबाहु,समबाहु)
$(iv)$ भुजाओं की समान संख्या वाले दो बहुभुज समरूप होते हैं,यदि $(a)$ उनके संगत कोण $......$ हों और $(b)$ उनकी संगत भुजाएँ $......$ हों। (बराबर,समानुपाती)
$(i)$ सभी वृत्त $........$ होते हैं। (सर्वांगसम,समरूप)
$(ii)$ सभी वर्ग $.........$ होते हैं। (समरूप,सर्वांगसम)
$(iii)$ सभी $.........$ त्रिभुज समरूप होते हैं। (समद्विबाहु,समबाहु)
$(iv)$ भुजाओं की समान संख्या वाले दो बहुभुज समरूप होते हैं,यदि $(a)$ उनके संगत कोण $......$ हों और $(b)$ उनकी संगत भुजाएँ $......$ हों। (बराबर,समानुपाती)
Solution
(A) $(i)$ सभी वृत्तों का आकार समान होता है लेकिन आवश्यक नहीं कि उनका माप भी समान हो,इसलिए वे समरूप होते हैं।
$(ii)$ सभी वर्गों का आकार समान होता है (सभी कोण $90^{\circ}$ होते हैं और भुजाएँ समान अनुपात में होती हैं),इसलिए वे समरूप होते हैं।
$(iii)$ सभी समबाहु त्रिभुजों के कोण $60^{\circ}$ होते हैं और भुजाओं का अनुपात समान होता है,इसलिए वे समरूप होते हैं।
$(iv)$ दो बहुभुज समरूप होते हैं यदि $(a)$ उनके संगत कोण बराबर हों और $(b)$ उनकी संगत भुजाएँ समानुपाती हों।
$(ii)$ सभी वर्गों का आकार समान होता है (सभी कोण $90^{\circ}$ होते हैं और भुजाएँ समान अनुपात में होती हैं),इसलिए वे समरूप होते हैं।
$(iii)$ सभी समबाहु त्रिभुजों के कोण $60^{\circ}$ होते हैं और भुजाओं का अनुपात समान होता है,इसलिए वे समरूप होते हैं।
$(iv)$ दो बहुभुज समरूप होते हैं यदि $(a)$ उनके संगत कोण बराबर हों और $(b)$ उनकी संगत भुजाएँ समानुपाती हों।
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Easy
समरूप आकृतियों के युग्मों के दो अलग-अलग उदाहरण दीजिए।
Solution
(N/A) दो आकृतियाँ समरूप तब कहलाती हैं जब उनका आकार समान हो लेकिन उनका माप समान होना आवश्यक नहीं है।
उदाहरण $1$: $1\, cm$ और $2\, cm$ भुजा की लंबाई वाले दो समबाहु त्रिभुज। चूंकि सभी समबाहु त्रिभुजों के कोण $60^{\circ}$ होते हैं,इसलिए उनका आकार समान होता है।
उदाहरण $2$: $1\, cm$ और $2\, cm$ भुजा की लंबाई वाले दो वर्ग। चूंकि सभी वर्गों के आंतरिक कोण $90^{\circ}$ होते हैं और उनकी भुजाएं समानुपाती होती हैं,इसलिए उनका आकार समान होता है।
उदाहरण $1$: $1\, cm$ और $2\, cm$ भुजा की लंबाई वाले दो समबाहु त्रिभुज। चूंकि सभी समबाहु त्रिभुजों के कोण $60^{\circ}$ होते हैं,इसलिए उनका आकार समान होता है।
उदाहरण $2$: $1\, cm$ और $2\, cm$ भुजा की लंबाई वाले दो वर्ग। चूंकि सभी वर्गों के आंतरिक कोण $90^{\circ}$ होते हैं और उनकी भुजाएं समानुपाती होती हैं,इसलिए उनका आकार समान होता है।
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Easy
असमरूप आकृतियों के जोड़ों के दो अलग-अलग उदाहरण दीजिए।
Solution
(N/A) दो आकृतियों को असमरूप तब कहा जाता है यदि उनका आकार समान न हो,भले ही उनकी भुजाओं की संख्या समान हो।
उदाहरण $1$: समलंब चतुर्भुज (Trapezium) और वर्ग (Square) असमरूप आकृतियाँ हैं क्योंकि उनके संगत कोण बराबर नहीं होते हैं और उनकी संगत भुजाएँ समान अनुपात में नहीं होती हैं।
उदाहरण $2$: त्रिभुज (Triangle) और समांतर चतुर्भुज (Parallelogram) असमरूप आकृतियाँ हैं क्योंकि उनकी भुजाओं की संख्या अलग-अलग होती है और उनके ज्यामितीय गुण भी भिन्न होते हैं।
उदाहरण $1$: समलंब चतुर्भुज (Trapezium) और वर्ग (Square) असमरूप आकृतियाँ हैं क्योंकि उनके संगत कोण बराबर नहीं होते हैं और उनकी संगत भुजाएँ समान अनुपात में नहीं होती हैं।
उदाहरण $2$: त्रिभुज (Triangle) और समांतर चतुर्भुज (Parallelogram) असमरूप आकृतियाँ हैं क्योंकि उनकी भुजाओं की संख्या अलग-अलग होती है और उनके ज्यामितीय गुण भी भिन्न होते हैं।
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Easy
बताइए कि निम्नलिखित चतुर्भुज समरूप हैं या नहीं।
Solution
(N/A) दो बहुभुज समरूप होते हैं यदि:
$1$. उनके संगत कोण बराबर हों।
$2$. उनकी संगत भुजाएँ एक ही अनुपात (समानुपाती) में हों।
चतुर्भुज $PQRS$ और $ABCD$ में:
- भुजाओं का अनुपात $PQ/AB = QR/BC = RS/CD = SP/DA = 1.5/3 = 1/2$ है। अतः,भुजाएँ समानुपाती हैं।
- हालाँकि,$PQRS$ के कोण $90^{\circ}$ नहीं हैं,जबकि $ABCD$ के सभी कोण $90^{\circ}$ हैं।
चूँकि संगत कोण बराबर नहीं हैं,इसलिए चतुर्भुज $PQRS$ और $ABCD$ समरूप नहीं हैं।
$1$. उनके संगत कोण बराबर हों।
$2$. उनकी संगत भुजाएँ एक ही अनुपात (समानुपाती) में हों।
चतुर्भुज $PQRS$ और $ABCD$ में:
- भुजाओं का अनुपात $PQ/AB = QR/BC = RS/CD = SP/DA = 1.5/3 = 1/2$ है। अतः,भुजाएँ समानुपाती हैं।
- हालाँकि,$PQRS$ के कोण $90^{\circ}$ नहीं हैं,जबकि $ABCD$ के सभी कोण $90^{\circ}$ हैं।
चूँकि संगत कोण बराबर नहीं हैं,इसलिए चतुर्भुज $PQRS$ और $ABCD$ समरूप नहीं हैं।
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EasyMCQ
क्या निम्नलिखित कथन सत्य है? क्यों?
"दो चतुर्भुज समरूप होते हैं,यदि उनके संगत कोण बराबर हों".
"दो चतुर्भुज समरूप होते हैं,यदि उनके संगत कोण बराबर हों".
A
सत्य
B
असत्य
C
निर्धारित नहीं किया जा सकता
D
चतुर्भुज के प्रकार पर निर्भर करता है
Solution
(B) यह कथन $\text{असत्य}$ है।
दो बहुभुज (चतुर्भुज सहित) समरूप तभी कहलाते हैं जब दो शर्तें पूरी होती हैं:
$1$. उनके संगत कोण बराबर हों।
$2$. उनकी संगत भुजाएँ एक ही अनुपात (समानुपाती) में हों।
उदाहरण के लिए,एक वर्ग और एक आयत के संगत कोण बराबर $(90^{\circ})$ होते हैं,लेकिन वे समरूप नहीं होते क्योंकि उनकी भुजाएँ समानुपाती नहीं होती हैं।
दो बहुभुज (चतुर्भुज सहित) समरूप तभी कहलाते हैं जब दो शर्तें पूरी होती हैं:
$1$. उनके संगत कोण बराबर हों।
$2$. उनकी संगत भुजाएँ एक ही अनुपात (समानुपाती) में हों।
उदाहरण के लिए,एक वर्ग और एक आयत के संगत कोण बराबर $(90^{\circ})$ होते हैं,लेकिन वे समरूप नहीं होते क्योंकि उनकी भुजाएँ समानुपाती नहीं होती हैं।
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View Solution6
Medium
सिद्ध कीजिए कि एक वर्ग की एक भुजा पर बनाए गए समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल,उसके एक विकर्ण पर बनाए गए समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का आधा होता है।
Solution
(N/A) माना $ABCD$ भुजा $a$ वाला एक वर्ग है।
अतः,इसका विकर्ण $= \sqrt{2} a$ होगा।
दो समबाहु त्रिभुज बनते हैं: $\Delta ABE$ (भुजा $AB$ पर) और $\Delta DBF$ (विकर्ण $DB$ पर)।
भुजा $AB$ पर बने समबाहु त्रिभुज $\Delta ABE$ की भुजा $= a$ है।
विकर्ण $DB$ पर बने समबाहु त्रिभुज $\Delta DBF$ की भुजा $= \sqrt{2} a$ है।
चूंकि सभी समबाहु त्रिभुज समरूप होते हैं,इसलिए उनके क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।
$\frac{\Delta ABE \text{ का क्षेत्रफल}}{\Delta DBF \text{ का क्षेत्रफल}} = \left( \frac{a}{\sqrt{2} a} \right)^2 = \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^2 = \frac{1}{2}$।
अतः,$\Delta ABE \text{ का क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times \Delta DBF \text{ का क्षेत्रफल}$।
अतः,इसका विकर्ण $= \sqrt{2} a$ होगा।
दो समबाहु त्रिभुज बनते हैं: $\Delta ABE$ (भुजा $AB$ पर) और $\Delta DBF$ (विकर्ण $DB$ पर)।
भुजा $AB$ पर बने समबाहु त्रिभुज $\Delta ABE$ की भुजा $= a$ है।
विकर्ण $DB$ पर बने समबाहु त्रिभुज $\Delta DBF$ की भुजा $= \sqrt{2} a$ है।
चूंकि सभी समबाहु त्रिभुज समरूप होते हैं,इसलिए उनके क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।
$\frac{\Delta ABE \text{ का क्षेत्रफल}}{\Delta DBF \text{ का क्षेत्रफल}} = \left( \frac{a}{\sqrt{2} a} \right)^2 = \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^2 = \frac{1}{2}$।
अतः,$\Delta ABE \text{ का क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times \Delta DBF \text{ का क्षेत्रफल}$।
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DifficultMCQ
एक सीढ़ी दीवार के सहारे इस प्रकार टिकी है कि उसका निचला सिरा दीवार से $2.5\, m$ की दूरी पर है और उसका ऊपरी सिरा जमीन से $6\, m$ ऊँची खिड़की तक पहुँचता है। सीढ़ी की लंबाई $m$ में ज्ञात कीजिए।
A
$7$
B
$6.5$
C
$5.9$
D
$8.0$
Solution
(B) माना $AB$ सीढ़ी है और $CA$ दीवार है जहाँ $A$ पर खिड़की है। दीवार और जमीन $C$ पर समकोण बनाती हैं। अतः,$\triangle ABC$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $\angle C = 90^\circ$ है।
दिया है: $BC = 2.5\, m$ (सीढ़ी के निचले सिरे की दीवार से दूरी) और $CA = 6\, m$ (जमीन से खिड़की की ऊँचाई)।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,एक समकोण त्रिभुज में कर्ण का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है:
$AB^2 = BC^2 + CA^2$
$AB^2 = (2.5)^2 + (6)^2$
$AB^2 = 6.25 + 36$
$AB^2 = 42.25$
$AB = \sqrt{42.25}$
$AB = 6.5\, m$
अतः,सीढ़ी की लंबाई $6.5\, m$ है।
दिया है: $BC = 2.5\, m$ (सीढ़ी के निचले सिरे की दीवार से दूरी) और $CA = 6\, m$ (जमीन से खिड़की की ऊँचाई)।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,एक समकोण त्रिभुज में कर्ण का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है:
$AB^2 = BC^2 + CA^2$
$AB^2 = (2.5)^2 + (6)^2$
$AB^2 = 6.25 + 36$
$AB^2 = 42.25$
$AB = \sqrt{42.25}$
$AB = 6.5\, m$
अतः,सीढ़ी की लंबाई $6.5\, m$ है।
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DifficultMCQ
$ABC$ और $BDE$ दो समबाहु त्रिभुज हैं,जहाँ $D$,$BC$ का मध्य-बिंदु है। त्रिभुजों $ABC$ और $BDE$ के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
A
$2:1$
B
$4:1$
C
$1:2$
D
$1:4$
Solution
(B) हम जानते हैं कि सभी समबाहु त्रिभुजों के सभी कोण $60^{\circ}$ होते हैं और उनकी सभी भुजाएँ समान लंबाई की होती हैं। इसलिए,सभी समबाहु त्रिभुज एक-दूसरे के समरूप होते हैं।
दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।
मान लीजिए $\triangle ABC$ की भुजा की लंबाई $x$ है।
चूँकि $D$,$BC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $\triangle BDE$ की भुजा की लंबाई $\frac{x}{2}$ होगी।
अतः,क्षेत्रफलों का अनुपात:
$\frac{\text{Area}(\triangle ABC)}{\text{Area}(\triangle BDE)} = \left(\frac{x}{\frac{x}{2}}\right)^{2} = (2)^{2} = \frac{4}{1}$.
अतः,अनुपात $4:1$ है और सही उत्तर $(B)$ है।
दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।
मान लीजिए $\triangle ABC$ की भुजा की लंबाई $x$ है।
चूँकि $D$,$BC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $\triangle BDE$ की भुजा की लंबाई $\frac{x}{2}$ होगी।
अतः,क्षेत्रफलों का अनुपात:
$\frac{\text{Area}(\triangle ABC)}{\text{Area}(\triangle BDE)} = \left(\frac{x}{\frac{x}{2}}\right)^{2} = (2)^{2} = \frac{4}{1}$.
अतः,अनुपात $4:1$ है और सही उत्तर $(B)$ है।
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Difficult
एक हवाई जहाज एक हवाई अड्डे से उड़ान भरता है और $1000\, km/h$ की गति से उत्तर की ओर उड़ता है। उसी समय,एक अन्य हवाई जहाज उसी हवाई अड्डे से उड़ान भरता है और $1200\, km/h$ की गति से पश्चिम की ओर उड़ता है। $1 \frac{1}{2}$ घंटे बाद दोनों विमान एक-दूसरे से कितनी दूर होंगे?
Solution
(N/A) उत्तर की ओर उड़ने वाले विमान द्वारा $1 \frac{1}{2}$ घंटे में तय की गई दूरी $= 1000 \times 1.5 = 1500\, km$.
पश्चिम की ओर उड़ने वाले विमान द्वारा $1 \frac{1}{2}$ घंटे में तय की गई दूरी $= 1200 \times 1.5 = 1800\, km$.
मान लीजिए कि हवाई अड्डा मूल बिंदु $O$ पर है। उत्तर की ओर उड़ने वाला विमान बिंदु $A$ पर पहुँचता है और पश्चिम की ओर उड़ने वाला विमान बिंदु $B$ पर पहुँचता है।
चूँकि उत्तर और पश्चिम दिशाएँ परस्पर लंबवत हैं,$\triangle AOB$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $\angle AOB = 90^\circ$ है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,दोनों विमानों के बीच की दूरी कर्ण $AB = \sqrt{OA^2 + OB^2}$ होगी।
$AB = \sqrt{1500^2 + 1800^2} = \sqrt{2250000 + 3240000} = \sqrt{5490000}$.
$AB = \sqrt{90000 \times 61} = 300\sqrt{61}\, km$.
अतः,$1 \frac{1}{2}$ घंटे बाद दोनों विमानों के बीच की दूरी $300\sqrt{61}\, km$ होगी।
पश्चिम की ओर उड़ने वाले विमान द्वारा $1 \frac{1}{2}$ घंटे में तय की गई दूरी $= 1200 \times 1.5 = 1800\, km$.
मान लीजिए कि हवाई अड्डा मूल बिंदु $O$ पर है। उत्तर की ओर उड़ने वाला विमान बिंदु $A$ पर पहुँचता है और पश्चिम की ओर उड़ने वाला विमान बिंदु $B$ पर पहुँचता है।
चूँकि उत्तर और पश्चिम दिशाएँ परस्पर लंबवत हैं,$\triangle AOB$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $\angle AOB = 90^\circ$ है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,दोनों विमानों के बीच की दूरी कर्ण $AB = \sqrt{OA^2 + OB^2}$ होगी।
$AB = \sqrt{1500^2 + 1800^2} = \sqrt{2250000 + 3240000} = \sqrt{5490000}$.
$AB = \sqrt{90000 \times 61} = 300\sqrt{61}\, km$.
अतः,$1 \frac{1}{2}$ घंटे बाद दोनों विमानों के बीच की दूरी $300\sqrt{61}\, km$ होगी।
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Difficult
$6 \, m$ और $11 \, m$ ऊँचाई के दो खंभे एक समतल जमीन पर खड़े हैं। यदि खंभों के आधारों के बीच की दूरी $12 \, m$ है,तो उनके शीर्षों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
Solution
(13 M) मान लीजिए $CD$ और $AB$ क्रमशः $11 \, m$ और $6 \, m$ ऊँचाई के खंभे हैं।
$BD$ के समानांतर एक रेखाखंड $AP$ खींचिए ताकि $P$,$CD$ पर स्थित हो। तब $AP = BD = 12 \, m$ और $PD = AB = 6 \, m$ होगा।
अब,$CP = CD - PD = 11 \, m - 6 \, m = 5 \, m$।
समकोण त्रिभुज $\triangle APC$ में,पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर:
$AC^2 = AP^2 + CP^2$
$AC^2 = (12 \, m)^2 + (5 \, m)^2$
$AC^2 = 144 \, m^2 + 25 \, m^2 = 169 \, m^2$
$AC = \sqrt{169} \, m = 13 \, m$।
अतः,उनके शीर्षों के बीच की दूरी $13 \, m$ है।
$BD$ के समानांतर एक रेखाखंड $AP$ खींचिए ताकि $P$,$CD$ पर स्थित हो। तब $AP = BD = 12 \, m$ और $PD = AB = 6 \, m$ होगा।
अब,$CP = CD - PD = 11 \, m - 6 \, m = 5 \, m$।
समकोण त्रिभुज $\triangle APC$ में,पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर:
$AC^2 = AP^2 + CP^2$
$AC^2 = (12 \, m)^2 + (5 \, m)^2$
$AC^2 = 144 \, m^2 + 25 \, m^2 = 169 \, m^2$
$AC = \sqrt{169} \, m = 13 \, m$।
अतः,उनके शीर्षों के बीच की दूरी $13 \, m$ है।
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MediumMCQ
$\Delta ABC$ और $\Delta PQR$ के बीच संगति $ABC \leftrightarrow RPQ$ के लिए,$\angle B$ के संगत $\ldots \ldots \ldots \ldots$ है।
A
$\angle P$
B
$\angle Q$
C
$\angle R$
D
$\angle Q$ या $\angle R$
Solution
(A) दी गई संगति $ABC \leftrightarrow RPQ$ में,शीर्षों का मिलान इस प्रकार है:
$A$ के संगत $R$ है।
$B$ के संगत $P$ है।
$C$ के संगत $Q$ है।
अतः,$\angle B$ के संगत $\angle P$ है।
$A$ के संगत $R$ है।
$B$ के संगत $P$ है।
$C$ के संगत $Q$ है।
अतः,$\angle B$ के संगत $\angle P$ है।
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MediumMCQ
वर्ग $ABCD$ में,$AB = 4 \sqrt{2}$ है। तो,वर्ग के विकर्ण की लंबाई क्या होगी?
A
$4$
B
$8 \sqrt{2}$
C
$8$
D
$5 \sqrt{2}$
Solution
(C) एक वर्ग में,विकर्ण की लंबाई का सूत्र है: $\text{विकर्ण} = \sqrt{2} \times \text{भुजा}$.
यहाँ भुजा की लंबाई $AB = 4 \sqrt{2}$ दी गई है।
सूत्र में भुजा का मान रखने पर:
$\text{विकर्ण} = \sqrt{2} \times (4 \sqrt{2})$
$= 4 \times (\sqrt{2} \times \sqrt{2})$
$= 4 \times 2 = 8$.
अतः,विकर्ण की लंबाई $8$ है।
यहाँ भुजा की लंबाई $AB = 4 \sqrt{2}$ दी गई है।
सूत्र में भुजा का मान रखने पर:
$\text{विकर्ण} = \sqrt{2} \times (4 \sqrt{2})$
$= 4 \times (\sqrt{2} \times \sqrt{2})$
$= 4 \times 2 = 8$.
अतः,विकर्ण की लंबाई $8$ है।
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