Similar Figures Questions in Gujarati

(A) $(i)$ બધા વર્તુળોનો આકાર સમાન હોય છે પરંતુ કદ સમાન હોવું જરૂરી નથી,તેથી તેઓ સમરૂપ છે.
$(ii)$ બધા ચોરસનો આકાર સમાન હોય છે (બધા ખૂણા $90^{\circ}$ હોય છે અને બાજુઓ સમાન ગુણોત્તરમાં હોય છે),તેથી તેઓ સમરૂપ છે.
$(iii)$ બધા સમબાજુ ત્રિકોણોના ખૂણા $60^{\circ}$ હોય છે અને બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે,તેથી તેઓ સમરૂપ છે.
$(iv)$ બે બહુકોણ સમરૂપ હોય છે જો $(a)$ તેમના અનુરૂપ ખૂણાઓ સમાન હોય અને $(b)$ તેમની અનુરૂપ બાજુઓ પ્રમાણમાં હોય.

(N/A) બે આકૃતિઓ સમરૂપ ત્યારે કહેવાય છે જ્યારે તેમનો આકાર સમાન હોય પરંતુ કદ સમાન હોવું જરૂરી નથી.
ઉદાહરણ $1$: $1\, cm$ અને $2\, cm$ બાજુની લંબાઈ ધરાવતા બે સમબાજુ ત્રિકોણ. કારણ કે તમામ સમબાજુ ત્રિકોણના ખૂણા $60^{\circ}$ હોય છે,તેથી તેમનો આકાર સમાન હોય છે.
ઉદાહરણ $2$: $1\, cm$ અને $2\, cm$ બાજુની લંબાઈ ધરાવતા બે ચોરસ. કારણ કે તમામ ચોરસના અંતઃકોણ $90^{\circ}$ હોય છે અને તેમની બાજુઓ પ્રમાણમાં હોય છે,તેથી તેમનો આકાર સમાન હોય છે.

(N/A) બે આકૃતિઓને અસમરૂપ ત્યારે કહેવામાં આવે છે જો તેમનો આકાર સમાન ન હોય,ભલે તેમની બાજુઓની સંખ્યા સમાન હોય.
ઉદાહરણ $1$: સમલંબ ચતુષ્કોણ (Trapezium) અને ચોરસ (Square) એ અસમરૂપ આકૃતિઓ છે કારણ કે તેમના અનુરૂપ ખૂણાઓ સમાન નથી અને તેમની અનુરૂપ બાજુઓ સમાન ગુણોત્તરમાં નથી.
ઉદાહરણ $2$: ત્રિકોણ (Triangle) અને સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ (Parallelogram) એ અસમરૂપ આકૃતિઓ છે કારણ કે તેમની બાજુઓની સંખ્યા અલગ છે અને તેમના ભૌમિતિક ગુણધર્મો પણ અલગ છે.

(N/A) બે બહુકોણ સમરૂપ ત્યારે કહેવાય જો:
$1$. તેમના અનુરૂપ ખૂણાઓ સમાન હોય.
$2$. તેમની અનુરૂપ બાજુઓ સમાન ગુણોત્તરમાં (પ્રમાણમાં) હોય.
ચતુષ્કોણ $PQRS$ અને $ABCD$ માં:
- બાજુઓનો ગુણોત્તર $PQ/AB = QR/BC = RS/CD = SP/DA = 1.5/3 = 1/2$ છે. આમ,બાજુઓ પ્રમાણમાં છે.
- જોકે,$PQRS$ ના ખૂણાઓ $90^{\circ}$ નથી,જ્યારે $ABCD$ ના બધા ખૂણાઓ $90^{\circ}$ છે.
અનુરૂપ ખૂણાઓ સમાન ન હોવાથી,ચતુષ્કોણ $PQRS$ અને $ABCD$ સમરૂપ નથી.

(B) આ વિધાન $\text{ખોટું}$ છે.
બે બહુકોણ (ચતુષ્કોણ સહિત) ત્યારે જ સમરૂપ ગણાય જો નીચેની બે શરતોનું પાલન થાય:
$1$. તેમના અનુરૂપ ખૂણાઓ સમાન હોય.
$2$. તેમની અનુરૂપ બાજુઓ સમાન ગુણોત્તરમાં (પ્રમાણમાં) હોય.
ઉદાહરણ તરીકે,એક ચોરસ અને એક લંબચોરસના અનુરૂપ ખૂણાઓ સમાન $(90^{\circ})$ હોય છે,પરંતુ તેઓ સમરૂપ નથી કારણ કે તેમની બાજુઓ પ્રમાણમાં નથી.

(N/A) ધારો કે $ABCD$ એ $a$ બાજુવાળો એક ચોરસ છે.
તેથી,તેનો વિકર્ણ $= \sqrt{2} a$ થાય.
બે સમબાજુ ત્રિકોણ રચાય છે: $\Delta ABE$ (બાજુ $AB$ પર) અને $\Delta DBF$ (વિકર્ણ $DB$ પર).
બાજુ $AB$ પર રચાયેલા સમબાજુ ત્રિકોણ $\Delta ABE$ ની બાજુ $= a$.
વિકર્ણ $DB$ પર રચાયેલા સમબાજુ ત્રિકોણ $\Delta DBF$ ની બાજુ $= \sqrt{2} a$.
બધા જ સમબાજુ ત્રિકોણો સમરૂપ હોવાથી,તેમના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર તેમની અનુરૂપ બાજુઓના ગુણોત્તરના વર્ગ જેટલો હોય છે.
$\frac{\Delta ABE \text{ નું ક્ષેત્રફળ}}{\Delta DBF \text{ નું ક્ષેત્રફળ}} = \left( \frac{a}{\sqrt{2} a} \right)^2 = \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^2 = \frac{1}{2}$.
આમ,$\Delta ABE \text{ નું ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times \Delta DBF \text{ નું ક્ષેત્રફળ}$.

(B) ધારો કે $AB$ એ નિસરણી છે અને $CA$ એ દીવાલ છે જ્યાં $A$ પાસે બારી છે. દીવાલ અને જમીન $C$ પાસે કાટખૂણો બનાવે છે. આમ,$\triangle ABC$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં $\angle C = 90^\circ$ છે.
આપેલ છે: $BC = 2.5\, m$ (નિસરણીના નીચેના છેડાનું દીવાલથી અંતર) અને $CA = 6\, m$ (જમીનથી બારીની ઊંચાઈ).
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,કાટકોણ ત્રિકોણમાં કર્ણનો વર્ગ એ બાકીની બે બાજુઓના વર્ગોના સરવાળા જેટલો હોય છે:
$AB^2 = BC^2 + CA^2$
$AB^2 = (2.5)^2 + (6)^2$
$AB^2 = 6.25 + 36$
$AB^2 = 42.25$
$AB = \sqrt{42.25}$
$AB = 6.5\, m$
તેથી,નિસરણીની લંબાઈ $6.5\, m$ છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે તમામ સમબાજુ ત્રિકોણના બધા ખૂણા $60^{\circ}$ હોય છે અને તેમની બધી બાજુઓ સમાન લંબાઈની હોય છે. તેથી,તમામ સમબાજુ ત્રિકોણ એકબીજાને સમરૂપ હોય છે.
બે સમરૂપ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળોનો ગુણોત્તર તેમની અનુરૂપ બાજુઓના ગુણોત્તરના વર્ગ જેટલો હોય છે.
ધારો કે $\triangle ABC$ ની બાજુની લંબાઈ $x$ છે.
$D$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$\triangle BDE$ ની બાજુની લંબાઈ $\frac{x}{2}$ થશે.
તેથી,ક્ષેત્રફળોનો ગુણોત્તર:
$\frac{\text{Area}(\triangle ABC)}{\text{Area}(\triangle BDE)} = \left(\frac{x}{\frac{x}{2}}\right)^{2} = (2)^{2} = \frac{4}{1}$.
આમ,ગુણોત્તર $4:1$ છે અને સાચો જવાબ $(B)$ છે.

(N/A) ઉત્તર દિશામાં ઉડતા વિમાન દ્વારા $1 \frac{1}{2}$ કલાકમાં કાપેલું અંતર $= 1000 \times 1.5 = 1500\, km$.
પશ્ચિમ દિશામાં ઉડતા વિમાન દ્વારા $1 \frac{1}{2}$ કલાકમાં કાપેલું અંતર $= 1200 \times 1.5 = 1800\, km$.
ધારો કે એરપોર્ટ ઉગમબિંદુ $O$ પર છે. ઉત્તર તરફ ઉડતું વિમાન બિંદુ $A$ પર પહોંચે છે અને પશ્ચિમ તરફ ઉડતું વિમાન બિંદુ $B$ પર પહોંચે છે.
ઉત્તર અને પશ્ચિમ દિશાઓ પરસ્પર લંબ હોવાથી,$\triangle AOB$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં $\angle AOB = 90^\circ$ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,બંને વિમાનો વચ્ચેનું અંતર કર્ણ $AB = \sqrt{OA^2 + OB^2}$ થશે.
$AB = \sqrt{1500^2 + 1800^2} = \sqrt{2250000 + 3240000} = \sqrt{5490000}$.
$AB = \sqrt{90000 \times 61} = 300\sqrt{61}\, km$.
આમ,$1 \frac{1}{2}$ કલાક પછી બંને વિમાનો વચ્ચેનું અંતર $300\sqrt{61}\, km$ હશે.

(13 M) ધારો કે $CD$ અને $AB$ એ અનુક્રમે $11 \, m$ અને $6 \, m$ ઊંચાઈના થાંભલા છે.
$BD$ ને સમાંતર રેખાખંડ $AP$ દોરો જેથી $P$ એ $CD$ પર હોય. તેથી $AP = BD = 12 \, m$ અને $PD = AB = 6 \, m$ થાય.
હવે,$CP = CD - PD = 11 \, m - 6 \, m = 5 \, m$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle APC$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$AC^2 = AP^2 + CP^2$
$AC^2 = (12 \, m)^2 + (5 \, m)^2$
$AC^2 = 144 \, m^2 + 25 \, m^2 = 169 \, m^2$
$AC = \sqrt{169} \, m = 13 \, m$.
તેથી,તેમની ટોચ વચ્ચેનું અંતર $13 \, m$ છે.

(A) આપેલ સંગતતા $ABC \leftrightarrow RPQ$ માં,શિરોબિંદુઓ નીચે મુજબ સંગત છે:
$A$ ને સંગત $R$ છે.
$B$ ને સંગત $P$ છે.
$C$ ને સંગત $Q$ છે.
તેથી,$\angle B$ ને સંગત $\angle P$ થાય.

(C) ચોરસમાં,વિકર્ણની લંબાઈ શોધવાનું સૂત્ર: $\text{વિકર્ણ} = \sqrt{2} \times \text{બાજુ}$.
અહીં બાજુની લંબાઈ $AB = 4 \sqrt{2}$ આપેલી છે.
સૂત્રમાં બાજુની કિંમત મૂકતા:
$\text{વિકર્ણ} = \sqrt{2} \times (4 \sqrt{2})$
$= 4 \times (\sqrt{2} \times \sqrt{2})$
$= 4 \times 2 = 8$.
તેથી,વિકર્ણની લંબાઈ $8$ છે.