निश्चित समाकलन का मान ज्ञात कीजिए: int_{1}^{e | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int_{1}^{e} (x+1) e^{x} \ln x \, dx$. हम जानते हैं कि $\int e^{x} (f(x) + f'(x)) \, dx = e^{x} f(x) + C$. खंडशः समाकलन (Integration by

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$e^{e} - 1$

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(D) माना $I = \int_{1}^{e} (x+1) e^{x} \ln x \, dx$. हम जानते हैं कि $\int e^{x} (f(x) + f'(x)) \, dx = e^{x} f(x) + C$. खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करने पर: $u = \ln x$ और $dv = (x+1)e^{x} dx$ लें। तब $du = \frac{1}{x} dx$ और $v = \int (x+1)e^{x} dx = x e^{x}$. $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ सूत्र के अनुसार: $I = [x e^{x} \ln x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} x e^{x} \cdot \frac{1}{x} \, dx$ $I = [x e^{x} \ln x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} e^{x} \, dx$ $I = [x e^{x} \ln x - e^{x}]_{1}^{e}$ $I = (e \cdot e^{e} \cdot \ln e - e^{e}) - (1 \cdot e^{1} \cdot \ln 1 - e^{1})$ $I = (e \cdot e^{e} \cdot 1 - e^{e}) - (0 - e)$ $I = e^{e+1} - e^{e} + e = e^{e}(e-1) + e$.

निश्चित समाकलन का मान ज्ञात कीजिए: $\int_{1}^{e} (x+1) e^{x} \ln x \, dx$

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