intlimits_0^pi {{e^{{{cos }^4}x}}} cdot cos^5 | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) ધારો કે $I = \int\limits_0^\pi e^{\cos^4 x} \cdot \cos^5(2n + 1)x \,dx$. ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) \,dx = \int_0^a f(a - x) \,dx$ નો ઉપયોગ કરતા: $I =

Vedclass · Accepted Answer

$0$

Vedclass · Answer

(D) ધારો કે $I = \int\limits_0^\pi e^{\cos^4 x} \cdot \cos^5(2n + 1)x \,dx$. ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) \,dx = \int_0^a f(a - x) \,dx$ નો ઉપયોગ કરતા: $I = \int_0^\pi e^{\cos^4(\pi - x)} \cdot \cos^5(2n + 1)(\pi - x) \,dx$. કારણ કે $\cos(\pi - x) = -\cos x$,તેથી $\cos^4(\pi - x) = \cos^4 x$. વળી,$\cos(2n + 1)(\pi - x) = \cos((2n + 1)\pi - (2n + 1)x) = \cos((2n + 1)\pi) \cdot \cos(2n + 1)x + \sin((2n + 1)\pi) \cdot \sin(2n + 1)x$. $(2n + 1)$ એકી પૂર્ણાંક હોવાથી,$\cos((2n + 1)\pi) = -1$ અને $\sin((2n + 1)\pi) = 0$. તેથી,$\cos(2n + 1)(\pi - x) = -\cos(2n + 1)x$. તેથી,$\cos^5(2n + 1)(\pi - x) = (-\cos(2n + 1)x)^5 = -\cos^5(2n + 1)x$. આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા: $I = \int_0^\pi e^{\cos^4 x} \cdot (-\cos^5(2n + 1)x) \,dx = -I$. $2I = 0 \implies I = 0$.

$\int\limits_0^\pi {{e^{{{\cos }^4}x}}} \cdot \cos^5(2n + 1)x \,dx, (n \in I)$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

જો $F(x) = f(x) + f\left(\frac{1}{x}\right)$,જ્યાં $f(x) = \int_{1}^{x} \frac{\log_{e} t}{1+t} dt$ હોય,તો $F(e) = $

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \log \left(\frac{2-\sin \theta}{2+\sin \theta}\right) d \theta$ ની કિંમત શોધો.

$\int_{0}^{\pi} \frac{x \, dx}{a^{2} \cos ^{2} x+b^{2} \sin ^{2} x}$ ની કિંમત શોધો.

$\int_0^\pi \sin^{50} x \cos^{49} x \, dx$ નું મૂલ્ય શું છે?

જો $x > 0$ માટે,$f(x) = \int_{1}^{x} \frac{\log_{e} t}{1+t} dt$ હોય,તો $f(e) + f\left(\frac{1}{e}\right)$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module