बिंदु $(3,1)$,$(5,6)$ और $(-3,2)$ एक त्रिभुज की भुजाओं के मध्य-बिंदु हैं। त्रिभुज के शीर्ष ज्ञात कीजिए।
(N/A) मान लीजिए त्रिभुज के शीर्ष $A(x_1, y_1)$,$B(x_2, y_2)$ और $C(x_3, y_3)$ हैं।
मान लीजिए मध्य-बिंदु $D(3,1)$,$E(5,6)$ और $F(-3,2)$ हैं।
मध्य-बिंदु सूत्र का उपयोग करने पर:
$(x_1+x_2)/2 = 3, (y_1+y_2)/2 = 1 \implies x_1+x_2 = 6, y_1+y_2 = 2$ (समीकरण $1$)
$(x_2+x_3)/2 = 5, (y_2+y_3)/2 = 6 \implies x_2+x_3 = 10, y_2+y_3 = 12$ (समीकरण $2$)
$(x_3+x_1)/2 = -3, (y_3+y_1)/2 = 2 \implies x_3+x_1 = -6, y_3+y_1 = 4$ (समीकरण $3$)
सभी समीकरणों को जोड़ने पर: $2(x_1+x_2+x_3) = 6+10-6 = 10 \implies x_1+x_2+x_3 = 5$.
इसी प्रकार,$y_1+y_2+y_3 = (2+12+4)/2 = 9$.
योग से समीकरण $2$ घटाने पर: $x_1 = 5-10 = -5$ और $y_1 = 9-12 = -3$.
योग से समीकरण $3$ घटाने पर: $x_2 = 5-(-6) = 11$ और $y_2 = 9-4 = 5$.
योग से समीकरण $1$ घटाने पर: $x_3 = 5-6 = -1$ और $y_3 = 9-2 = 7$.
अतः शीर्ष $(-5,-3), (11,5), (-1,7)$ हैं।
मान लीजिए मध्य-बिंदु $D(3,1)$,$E(5,6)$ और $F(-3,2)$ हैं।
मध्य-बिंदु सूत्र का उपयोग करने पर:
$(x_1+x_2)/2 = 3, (y_1+y_2)/2 = 1 \implies x_1+x_2 = 6, y_1+y_2 = 2$ (समीकरण $1$)
$(x_2+x_3)/2 = 5, (y_2+y_3)/2 = 6 \implies x_2+x_3 = 10, y_2+y_3 = 12$ (समीकरण $2$)
$(x_3+x_1)/2 = -3, (y_3+y_1)/2 = 2 \implies x_3+x_1 = -6, y_3+y_1 = 4$ (समीकरण $3$)
सभी समीकरणों को जोड़ने पर: $2(x_1+x_2+x_3) = 6+10-6 = 10 \implies x_1+x_2+x_3 = 5$.
इसी प्रकार,$y_1+y_2+y_3 = (2+12+4)/2 = 9$.
योग से समीकरण $2$ घटाने पर: $x_1 = 5-10 = -5$ और $y_1 = 9-12 = -3$.
योग से समीकरण $3$ घटाने पर: $x_2 = 5-(-6) = 11$ और $y_2 = 9-4 = 5$.
योग से समीकरण $1$ घटाने पर: $x_3 = 5-6 = -1$ और $y_3 = 9-2 = 7$.
अतः शीर्ष $(-5,-3), (11,5), (-1,7)$ हैं।
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$(iii)$ माध्यिकाओं $BE$ और $CF$ पर स्थित बिंदुओं $Q$ और $R$ के निर्देशांक ज्ञात कीजिए,ताकि $BQ : QE = 2 : 1$ और $CR : RF = 2 : 1$ हो।
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