$P$ એ $\odot(O, r)$ ના બહારના ભાગમાં આવેલું એક બિંદુ છે અને $P$ માંથી વર્તુળ પર દોરેલા સ્પર્શકો વર્તુળને $X$ અને $Y$ બિંદુએ સ્પર્શે છે. જો $m\angle XPO = 65^\circ$ હોય,તો $m\angle XOP$ શોધો. ($^\circ$ માં)

$\Delta ABC$ નું અંતઃવૃત્ત તેની બાજુઓ $\overline{AB}$, $\overline{BC}$ અને $\overline{CA}$ ને અનુક્રમે $P$, $Q$ અને $R$ બિંદુઓમાં સ્પર્શે છે. જો $AB = 14$, $BC = 11$ અને $CA = 7$ હોય, તો $AP$, $BQ$ અને $RC$ ની લંબાઈ શોધો.

ખાલી જગ્યા પૂરો:
$(i)$ એક વર્તુળને વધુમાં વધુ $......$ સમાંતર સ્પર્શકો હોઈ શકે છે.
$(ii)$ વર્તુળના સ્પર્શક અને વર્તુળના સામાન્ય બિંદુને $......$ કહેવામાં આવે છે.

$AB$ અને $CD$ બે વર્તુળોના સામાન્ય સ્પર્શકો છે. જો બંને વર્તુળોની ત્રિજ્યા સમાન હોય,તો સાબિત કરો કે $AB = CD$.

એક ત્રિકોણ $ABC$ એ $4 \, cm$ ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળને પરિગત દોરેલ છે,જેથી બિંદુ $D$ દ્વારા $BC$ નું વિભાજન થતા રેખાખંડો $BD$ અને $DC$ ની લંબાઈ અનુક્રમે $8 \, cm$ અને $6 \, cm$ છે (આકૃતિ જુઓ). બાજુઓ $AB$ અને $AC$ શોધો ( $cm$ માં).

બિંદુ $A$ એ $\odot(O, 8)$ ની બહારના ભાગમાં આવેલું છે. $A$ માંથી પસાર થતી એક રેખા વર્તુળને $B$ બિંદુએ સ્પર્શે છે. જો $AB = 15$ હોય,તો $OA$ શોધો.