$AB$ और $AC$ एक वृत्त की दो जीवाएँ हैं जिसका केंद्र $P$ है। यदि $\angle BAC$ का समद्विभाजक केंद्र $P$ से होकर गुजरता है,तो सिद्ध कीजिए कि $AB = AC$ है।

(A) माना $\angle BAC$ का समद्विभाजक $AD$ है,जहाँ $D$ वृत्त पर एक बिंदु है और $P, AD$ पर स्थित है।
$\triangle APB$ और $\triangle APC$ में:
$1$. $AP = AP$ (उभयनिष्ठ भुजा)।
$2$. $\angle BAP = \angle CAP$ (क्योंकि $AP, \angle BAC$ का समद्विभाजक है)।
$3$. $PB = PC$ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)।
अब,$\triangle APB$ और $\triangle APC$ में ज्या नियम (Law of Sines) का उपयोग करने पर:
$\triangle APB$ में: $\frac{PB}{\sin \theta} = \frac{AB}{\sin \angle APB} \implies AB = \frac{r \sin \angle APB}{\sin \theta}$।
$\triangle APC$ में: $\frac{PC}{\sin \theta} = \frac{AC}{\sin \angle APC} \implies AC = \frac{r \sin \angle APC}{\sin \theta}$।
चूँकि $A, P, D$ संरेख हैं,$\angle APB + \angle APC = 180^{\circ}$।
अतः,$\sin \angle APB = \sin(180^{\circ} - \angle APC) = \sin \angle APC$।
इस प्रकार,$AB = AC$ सिद्ध होता है।