frac{(-1 + isqrt{3})^{15}}{(1 - i)^{20}} + fr | vedclass

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Question

(A) माना $z_1 = -1 + i\sqrt{3} = 2\omega$ और $z_2 = -1 - i\sqrt{3} = 2\omega^2$,जहाँ $\omega$ इकाई का घनमूल है। अतः व्यंजक $E = \frac{(2\omega)^{15}}{

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$-64$

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(A) माना $z_1 = -1 + i\sqrt{3} = 2\omega$ और $z_2 = -1 - i\sqrt{3} = 2\omega^2$,जहाँ $\omega$ इकाई का घनमूल है। अतः व्यंजक $E = \frac{(2\omega)^{15}}{(1 - i)^{20}} + \frac{(2\omega^2)^{15}}{(1 + i)^{20}}$ होगा। चूँकि $\omega^3 = 1$,इसलिए $\omega^{15} = 1$ और $\omega^{30} = 1$ है। $E = \frac{2^{15}}{(1 - i)^{20}} + \frac{2^{15}}{(1 + i)^{20}} = 2^{15} \left[ \frac{(1 + i)^{20} + (1 - i)^{20}}{(1 - i^2)^{20}} ight]$. चूँकि $1 - i^2 = 2$,हर $2^{20}$ होगा। $E = \frac{2^{15}}{2^{20}} [(1 + i)^{20} + (1 - i)^{20}]$. चूँकि $(1 + i)^2 = 2i$ और $(1 - i)^2 = -2i$,$E = \frac{1}{2^5} [(2i)^{10} + (-2i)^{10}] = \frac{1}{32} [2^{10} i^{10} + 2^{10} i^{10}] = \frac{2 	imes 2^{10} 	imes (-1)}{32} = -64$.

$\frac{(-1 + i\sqrt{3})^{15}}{(1 - i)^{20}} + \frac{(-1 - i\sqrt{3})^{15}}{(1 + i)^{20}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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