શ્રેણી $\frac{1^3}{1} + \frac{1^3 + 2^3}{1 + 3} + \frac{1^3 + 2^3 + 3^3}{1 + 3 + 5} + \dots$ નું ${n^{th}}$ પદ શું હશે?

ધારો કે $S$ એ અનંત સરવાળો છે જે $S = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{10^{2n}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $(a_n)_{n \geq 0}$ એ $a_0 = 1, a_1 = 1$ અને $j \geq 2$ માટે $a_j = 20a_{j-1} - 108a_{j-2}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત શ્રેણી છે. જો $S$ ને $\frac{a}{b}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવવામાં આવે,જ્યાં $a$ અને $b$ પરસ્પર અવિભાજ્ય ધન પૂર્ણાંકો છે,તો $a$ ની કિંમત શોધો:

$2.\overline{357} = $

$1 \cdot 3 \cdot 5 + 3 \cdot 5 \cdot 7 + 5 \cdot 7 \cdot 9 + \dots$ શ્રેણીનો $n$ પદ સુધીનો સરવાળો શોધો.

નીચેના જૂથોની શ્રેણી $(1), (2, 3, 4), (5, 6, 7, 8, 9), \dots$ માં ${11^{th}}$ જૂથનું પ્રથમ પદ કયું છે?

જો $\frac{1}{1^4}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{3^4}+\ldots \infty = \frac{\pi^4}{90}$,$\frac{1}{1^4}+\frac{1}{3^4}+\frac{1}{5^4}+\ldots \infty = \alpha$,અને $\frac{1}{2^4}+\frac{1}{4^4}+\frac{1}{6^4}+\ldots \infty = \beta$,હોય તો $\frac{\alpha}{\beta}$ ની કિંમત શોધો.