श्रेणी frac{1^3}{1} + frac{1^3 + 2^3}{1 + 3} | vedclass

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Question

(C) ${n^{th}}$ पद $T_n = \frac{\sum_{k=1}^{n} k^3}{\sum_{k=1}^{n} (2k - 1)}$ द्वारा दिया जाता है।अंश प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के घनों का योग है: $

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$\frac{n^2 + 2n + 1}{4}$

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(C) ${n^{th}}$ पद $T_n = \frac{\sum_{k=1}^{n} k^3}{\sum_{k=1}^{n} (2k - 1)}$ द्वारा दिया जाता है।अंश प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के घनों का योग है: $\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$।हर प्रथम $n$ विषम संख्याओं का योग है,जो $n^2$ है: $\sum_{k=1}^{n} (2k - 1) = n^2$।अतः,$T_n = \frac{n^2(n+1)^2 / 4}{n^2} = \frac{(n+1)^2}{4} = \frac{n^2 + 2n + 1}{4}$।

श्रेणी $\frac{1^3}{1} + \frac{1^3 + 2^3}{1 + 3} + \frac{1^3 + 2^3 + 3^3}{1 + 3 + 5} + \dots$ का ${n^{th}}$ पद क्या होगा?

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$\sum_{k=1}^{\infty} \sum_{r=0}^k \frac{1}{3^k} \binom{k}{r}$ का मान ज्ञात कीजिए।

फिबोनाची अनुक्रम $a_1 = 1, a_2 = 1$ और $n > 2$ के लिए $a_n = a_{n-1} + a_{n-2}$ द्वारा परिभाषित है। $n = 1, 2, 3, 4, 5$ के लिए $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $\alpha = 1^2 + 4^2 + 8^2 + 13^2 + 19^2 + 26^2 + \ldots$ $10$ पदों तक और $\beta = \sum_{n=1}^{10} n^4$ है। यदि $4\alpha - \beta = 55k + 40$ है,तो $k$ का मान . . . . . . है।

अनुक्रम $27, 9, 5\frac{2}{5}, 3\frac{6}{7}, \dots$ का $9$ वां पद $.....$ है।

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