int_1^{e} frac{e^x}{x}(1+x log x) d x= | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_1^{e} \frac{e^x}{x}(1+x \log x) d x$. हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं: $I = \int_1^{e} (\frac{e^x}{x} + e^x \log x) d x$. माना

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$e^e$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int_1^{e} \frac{e^x}{x}(1+x \log x) d x$. हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं: $I = \int_1^{e} (\frac{e^x}{x} + e^x \log x) d x$. माना $f(x) = e^x \log x$. तब $f'(x) = e^x \log x + e^x \cdot \frac{1}{x} = e^x (\log x + \frac{1}{x})$. यह समाकल्य से बिल्कुल मेल खाता है। इसलिए,$\int (f(x) + f'(x)) d x = f(x) + C$. अतः,$I = [e^x \log x]_1^e$. सीमाओं का मूल्यांकन करने पर: $I = (e^e \log e) - (e^1 \log 1)$. चूंकि $\log e = 1$ और $\log 1 = 0$,$I = (e^e \cdot 1) - (e \cdot 0) = e^e$. सही विकल्प $A$ है.

$\int_1^{e} \frac{e^x}{x}(1+x \log x) d x=$

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