int_{0}^{1} tan^{-1}left(frac{2x}{1-x^2}right | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int_{0}^{1} 	an^{-1}\left(\frac{2x}{1-x^2}ight) dx$.$x = 	an 	heta$ प्रतिस्थापन करने पर,$dx = \sec^2 	heta d	heta$.जब $x = 0$,तो

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$\frac{\pi}{2} - \log 2$

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(B) माना $I = \int_{0}^{1} 	an^{-1}\left(\frac{2x}{1-x^2}ight) dx$.$x = 	an 	heta$ प्रतिस्थापन करने पर,$dx = \sec^2 	heta d	heta$.जब $x = 0$,तो $	heta = 0$; जब $x = 1$,तो $	heta = \frac{\pi}{4}$.समाकलन $I = \int_{0}^{\pi/4} 	an^{-1}(	an 2	heta) \sec^2 	heta d	heta = \int_{0}^{\pi/4} 2	heta \sec^2 	heta d	heta$ हो जाता है।खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $I = 2 \left[ 	heta 	an 	heta - \int 	an 	heta d	heta ight]_{0}^{\pi/4}$.$I = 2 \left[ 	heta 	an 	heta + \log |\cos 	heta| ight]_{0}^{\pi/4}$.$I = 2 \left[ (\frac{\pi}{4} \cdot 1 + \log |\frac{1}{\sqrt{2}}|) - (0 + \log 1) ight]$.$I = 2 \left[ \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \log 2 ight] = \frac{\pi}{2} - \log 2$.

$\int_{0}^{1} \tan^{-1}\left(\frac{2x}{1-x^2}\right) dx =$

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$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d x}{5+4 \cos x} = $

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin (x-[x]) d x=$, जहाँ $[.]$ महत्तम पूर्णांक फलन (Greatest Integer Function) को दर्शाता है।

$\int_0^1 |5x - 3| \, dx = $

$\int_{a-c}^{b-c} f(x+c) \, dx = $

यदि $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{3+x}+\sqrt{1+x}} d x=a+b \sqrt{2}+c \sqrt{3}$,जहाँ $a, b, c$ परिमेय संख्याएँ हैं,तो $2 a+3 b-4 c$ का मान ज्ञात कीजिए:

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