int_{-frac{pi}{2}}^{frac{pi}{2}} sin (x-[x]) | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin (x-[x]) d x$ है। चूँकि $[x]$ महत्तम पूर्णांक फलन है, हम अंतराल $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2

Vedclass · Accepted Answer

$3(1-\cos 1)+\sin 2-\sin 1$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin (x-[x]) d x$ है। चूँकि $[x]$ महत्तम पूर्णांक फलन है, हम अंतराल $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \approx [-1.57, 1.57]$ में $[x]$ के मानों के आधार पर समाकलन को विभाजित करते हैं।$I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{-1} \sin (x + 2) d x + \int_{-1}^{0} \sin (x + 1) d x + \int_{0}^{1} \sin x d x + \int_{1}^{\frac{\pi}{2}} \sin (x - 1) d x$$I = [-\cos (x + 2)]_{-\frac{\pi}{2}}^{-1} + [-\cos (x + 1)]_{-1}^{0} + [-\cos x]_{0}^{1} + [-\cos (x - 1)]_{1}^{\frac{\pi}{2}}$$I = -(\cos 1 - \cos(2 - \frac{\pi}{2})) - (\cos 1 - \cos 0) - (\cos 1 - \cos 0) - (\cos(\frac{\pi}{2} - 1) - \cos 0)$$I = -\cos 1 + \sin 2 - \cos 1 + 1 - \cos 1 + 1 - \sin 1 + 1$$I = 3 - 3\cos 1 + \sin 2 - \sin 1 = 3(1 - \cos 1) + \sin 2 - \sin 1$.

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin (x-[x]) d x=$, जहाँ $[.]$ महत्तम पूर्णांक फलन (Greatest Integer Function) को दर्शाता है।

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यदि $\int_{0}^{a} \sqrt{\frac{a - x}{x}} dx = \frac{K}{2}$ है,तो $K = . . . . . .$.

$\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \sin^2 x \, dx = $ . . . . . . .

$\int_0^2 [x^2] dx$ का मान ज्ञात कीजिए (जहाँ $[x]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है जो $x$ से बड़ा नहीं है)

$\mathop {Lim}\limits_{n \to \infty } \int_0^2 {\left( {1 + \frac{t}{{n + 1}}} \right)^n} dt$ का मान ज्ञात कीजिए।

चार उप-अंतरालों को ध्यान में रखते हुए,ट्रेपेज़ॉइडल नियम द्वारा $\int_{0}^{1} \frac{1}{1+x} d x$ का मान क्या होगा?

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