int_0^{frac{pi}{4}} log left(frac{sin x+cos x | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log \left(\frac{\sin x + \cos x}{\cos x}\right) dx$. समाकल्य को सरल करने पर,हमें $I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \lo

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$\frac{\pi}{8} \log 2$

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(D) माना $I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log \left(\frac{\sin x + \cos x}{\cos x}ight) dx$. समाकल्य को सरल करने पर,हमें $I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log(1 + 	an x) dx$ प्राप्त होता है। गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर: $I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log \left[1 + 	an \left(\frac{\pi}{4} - xight)ight] dx$. सूत्र $	an(A-B) = \frac{	an A - 	an B}{1 + 	an A 	an B}$ का उपयोग करने पर: $I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log \left[1 + \frac{1 - 	an x}{1 + 	an x}ight] dx$. $I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log \left(\frac{1 + 	an x + 1 - 	an x}{1 + 	an x}ight) dx$. $I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log \left(\frac{2}{1 + 	an x}ight) dx$. $I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} (\log 2 - \log(1 + 	an x)) dx$. $I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log 2 dx - \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log(1 + 	an x) dx$. $I = \log 2 [x]_0^{\frac{\pi}{4}} - I$. $2I = \frac{\pi}{4} \log 2$. $I = \frac{\pi}{8} \log 2$.

$\int_0^{\frac{\pi}{4}} \log \left(\frac{\sin x+\cos x}{\cos x}\right) d x=$

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मान लीजिए $f(x) = \int\limits_1^x \frac{\tan^{-1} t}{t} dt$ जहाँ $x > 0$ है। तो $f(e^2) - f\left(\frac{1}{e^2}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_{-1}^{1} \sin^{5} x \cos^{4} x \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \sin |x| \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\int\limits_0^1 \frac{\ln x}{\sqrt{1 - x^2}} dx = k \int\limits_0^\pi \ln(1 + \cos x) dx$ है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए:

$\int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2} x \, dx =$

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